ID: 00009018
В прямоугольном параллелепипеде ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 известны длины рёбер: AB = \sqrt{2}, AD = 10, AA_1 = 16. На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1 E : EA = 5 : 3 и B_1 F : FB = 5 : 11. Точка T – середина ребра B_1 C_1.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D_1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Источник: ФИПИ
В этой задаче речь про плоскость и сечение, а такие вещи удобнее всего считать в координатах: тогда не нужно ничего «достраивать на глаз», всё сведётся к честному счёту. Поставим начало координат в вершину A и направим оси по рёбрам.
Тогда нижние вершины A=(0;0;0), B=(\sqrt2;0;0), C=(\sqrt2;10;0), D=(0;10;0), а верхние — на высоте 16: A_1=(0;0;16), B_1=(\sqrt2;0;16), C_1=(\sqrt2;10;16), D_1=(0;10;16).
Найдём отмеченные точки. На ребре AA_1 точка E делит его как A_1E:EA=5:3, то есть от пола A это \dfrac38 высоты: E=(0;0;6). На ребре BB_1 точка F с B_1F:FB=5:11 стоит на высоте 11 от пола: F=(\sqrt2;0;11). Точка T — середина B_1C_1, её координаты — среднее координат концов: T=(\sqrt2;5;16).
Пункт а. Точка лежит в плоскости EFT тогда и только тогда, когда вектор до неё раскладывается через два вектора этой плоскости. Возьмём за «оси» плоскости векторы \overrightarrow{EF} и \overrightarrow{ET} и проверим, что через них выражается \overrightarrow{ED_1}.
Считаем: \overrightarrow{EF}=(\sqrt2;0;5), \overrightarrow{ET}=(\sqrt2;5;10), \overrightarrow{ED_1}=(0;10;10).
Ищем числа x и y, для которых \overrightarrow{ED_1}=x\,\overrightarrow{EF}+y\,\overrightarrow{ET}. По второй координате 5y=10, значит y=2. По третьей 5x+10y=10, откуда 5x=10-20=-10 и x=-2. Проверяем первую координату: \sqrt2\cdot(-2)+\sqrt2\cdot2=0 — сходится.
Значит \overrightarrow{ED_1}=-2\,\overrightarrow{EF}+2\,\overrightarrow{ET}, то есть D_1 действительно лежит в плоскости EFT, что и требовалось доказать.
Пункт б. Теперь ясно, что сечение — это четырёхугольник EFTD_1 (его вершины сидят на AA_1, на BB_1, на верхней грани и в вершине D_1). Площадь такой плоской фигуры проще всего найти, разрезав её диагональю ET на два треугольника.
Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения двух его сторон. Для \triangle EFT: \overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ET}=(-25;-5\sqrt2;5\sqrt2), его длина \sqrt{625+50+50}=\sqrt{725}=5\sqrt{29}, поэтому S_{EFT}=\dfrac{5\sqrt{29}}{2}.
Для \triangle ETD_1: \overrightarrow{ET}\times\overrightarrow{ED_1}=(-50;-10\sqrt2;10\sqrt2), его длина \sqrt{2500+200+200}=\sqrt{2900}=10\sqrt{29}, поэтому S_{ETD_1}=\dfrac{10\sqrt{29}}{2}=5\sqrt{29}.
Складываем площади двух треугольников: S=\dfrac{5\sqrt{29}}{2}+5\sqrt{29}=\dfrac{5\sqrt{29}+10\sqrt{29}}{2}=\dfrac{15\sqrt{29}}{2}.
\dfrac{15\sqrt{29}}{2}.