ID: 00009018
В прямоугольном параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ известны длины рёбер: $AB = \sqrt{2}$, $AD = 10$, $AA_1 = 16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1 E : EA = 5 : 3$ и $B_1 F : FB = 5 : 11$. Точка $T$ – середина ребра $B_1 C_1$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.
Источник: ФИПИ
В этой задаче речь про плоскость и сечение, а такие вещи удобнее всего считать в координатах: тогда не нужно ничего «достраивать на глаз», всё сведётся к честному счёту. Поставим начало координат в вершину $A$ и направим оси по рёбрам.
Тогда нижние вершины $A=(0;0;0)$, $B=(\sqrt2;0;0)$, $C=(\sqrt2;10;0)$, $D=(0;10;0)$, а верхние — на высоте $16$: $A_1=(0;0;16)$, $B_1=(\sqrt2;0;16)$, $C_1=(\sqrt2;10;16)$, $D_1=(0;10;16)$.
Найдём отмеченные точки. На ребре $AA_1$ точка $E$ делит его как $A_1E:EA=5:3$, то есть от пола $A$ это $\dfrac38$ высоты: $E=(0;0;6)$. На ребре $BB_1$ точка $F$ с $B_1F:FB=5:11$ стоит на высоте $11$ от пола: $F=(\sqrt2;0;11)$. Точка $T$ — середина $B_1C_1$, её координаты — среднее координат концов: $T=(\sqrt2;5;16)$.
Пункт а. Точка лежит в плоскости $EFT$ тогда и только тогда, когда вектор до неё раскладывается через два вектора этой плоскости. Возьмём за «оси» плоскости векторы $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{ET}$ и проверим, что через них выражается $\overrightarrow{ED_1}$.
Считаем: $\overrightarrow{EF}=(\sqrt2;0;5)$, $\overrightarrow{ET}=(\sqrt2;5;10)$, $\overrightarrow{ED_1}=(0;10;10)$.
Ищем числа $x$ и $y$, для которых $\overrightarrow{ED_1}=x\,\overrightarrow{EF}+y\,\overrightarrow{ET}$. По второй координате $5y=10$, значит $y=2$. По третьей $5x+10y=10$, откуда $5x=10-20=-10$ и $x=-2$. Проверяем первую координату: $\sqrt2\cdot(-2)+\sqrt2\cdot2=0$ — сходится.
Значит $\overrightarrow{ED_1}=-2\,\overrightarrow{EF}+2\,\overrightarrow{ET}$, то есть $D_1$ действительно лежит в плоскости $EFT$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Теперь ясно, что сечение — это четырёхугольник $EFTD_1$ (его вершины сидят на $AA_1$, на $BB_1$, на верхней грани и в вершине $D_1$). Площадь такой плоской фигуры проще всего найти, разрезав её диагональю $ET$ на два треугольника.
Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения двух его сторон. Для $\triangle EFT$: $\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ET}=(-25;-5\sqrt2;5\sqrt2)$, его длина $\sqrt{625+50+50}=\sqrt{725}=5\sqrt{29}$, поэтому $S_{EFT}=\dfrac{5\sqrt{29}}{2}$.
Для $\triangle ETD_1$: $\overrightarrow{ET}\times\overrightarrow{ED_1}=(-50;-10\sqrt2;10\sqrt2)$, его длина $\sqrt{2500+200+200}=\sqrt{2900}=10\sqrt{29}$, поэтому $S_{ETD_1}=\dfrac{10\sqrt{29}}{2}=5\sqrt{29}$.
Складываем площади двух треугольников: $S=\dfrac{5\sqrt{29}}{2}+5\sqrt{29}=\dfrac{5\sqrt{29}+10\sqrt{29}}{2}=\dfrac{15\sqrt{29}}{2}$.
$\dfrac{15\sqrt{29}}{2}$.