Введём координаты с началом в A: A=(0;0;0), B=(8;0;0), C=(8;7;0), D=(0;7;0), и верхние вершины на высоте 5: A_1=(0;0;5), и т.д. Точка W на DD_1 делит его 1:4 от D, то есть стоит на высоте 1: W=(0;7;1).

Пункт а. У параллелепипеда есть центр симметрии O — середина любой пространственной диагонали, в том числе A_1C. Любая плоскость, проходящая через две симметричные относительно O точки, проходит и через сам центр.

Точки A_1 и C как раз симметричны относительно O (это концы диагонали A_1C, а её середина и есть O). Значит, любая плоскость через A_1 и C содержит центр O.

А плоскость, проходящая через центр симметрии, разбивает тело на две части, переходящие друг в друга при симметрии относительно O. Симметричные фигуры равны, поэтому и объёмы их равны — части равновелики, что и требовалось доказать.

Пункт б. Строим сечение через C, W, A_1. Кроме этих трёх точек, плоскость пересекает ещё ребро BB_1. Найдём эту четвёртую точку P.

Запишем уравнение плоскости через A_1=(0;0;5), W=(0;7;1), C=(8;7;0). Нормаль — векторное произведение \overrightarrow{A_1W}\times\overrightarrow{A_1C}, где \overrightarrow{A_1W}=(0;7;-4), \overrightarrow{A_1C}=(8;7;-5). Получаем \vec n=(-7;-32;-56), и уравнение 7x+32y+56z=280 (подставили A_1).

Ребро BB_1 — это точки (8;0;z). Подставляем: 56+56z=280, z=4. Значит P=(8;0;4), и сечение — четырёхугольник A_1PCW (по порядку обхода).

Проверим, что это параллелограмм: \overrightarrow{A_1P}=(8;0;-1) и \overrightarrow{WC}=(8;0;-1) — равны, значит противоположные стороны параллельны и равны. Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения двух смежных сторон.

Берём смежные стороны \overrightarrow{A_1P}=(8;0;-1) и \overrightarrow{A_1W}=(0;7;-4). Их произведение \overrightarrow{A_1P}\times\overrightarrow{A_1W}=(7;32;56), а длина \sqrt{7^2+32^2+56^2}=\sqrt{49+1024+3136}=\sqrt{4209}.

Значит площадь сечения равна \sqrt{4209}.