ID: 00009020
В прямоугольном параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ известны рёбра $AB = 8$, $AD = 7$, $AA_1 = 5$. Точка $W$ принадлежит ребру $DD_1$ и делит его в отношении $1 : 4$, считая от вершины $D$.
а) Докажите, что любая плоскость, проходящая через вершины $A_1$ и $C$, делит параллелепипед на две равновеликие фигуры.
б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $C$, $W$ и $A_1$.
Источник: ФИПИ
Введём координаты с началом в $A$: $A=(0;0;0)$, $B=(8;0;0)$, $C=(8;7;0)$, $D=(0;7;0)$, и верхние вершины на высоте $5$: $A_1=(0;0;5)$, и т.д. Точка $W$ на $DD_1$ делит его $1:4$ от $D$, то есть стоит на высоте $1$: $W=(0;7;1)$.
Пункт а. У параллелепипеда есть центр симметрии $O$ — середина любой пространственной диагонали, в том числе $A_1C$. Любая плоскость, проходящая через две симметричные относительно $O$ точки, проходит и через сам центр.
Точки $A_1$ и $C$ как раз симметричны относительно $O$ (это концы диагонали $A_1C$, а её середина и есть $O$). Значит, любая плоскость через $A_1$ и $C$ содержит центр $O$.
А плоскость, проходящая через центр симметрии, разбивает тело на две части, переходящие друг в друга при симметрии относительно $O$. Симметричные фигуры равны, поэтому и объёмы их равны — части равновелики, что и требовалось доказать.
Пункт б. Строим сечение через $C$, $W$, $A_1$. Кроме этих трёх точек, плоскость пересекает ещё ребро $BB_1$. Найдём эту четвёртую точку $P$.
Запишем уравнение плоскости через $A_1=(0;0;5)$, $W=(0;7;1)$, $C=(8;7;0)$. Нормаль — векторное произведение $\overrightarrow{A_1W}\times\overrightarrow{A_1C}$, где $\overrightarrow{A_1W}=(0;7;-4)$, $\overrightarrow{A_1C}=(8;7;-5)$. Получаем $\vec n=(-7;-32;-56)$, и уравнение $7x+32y+56z=280$ (подставили $A_1$).
Ребро $BB_1$ — это точки $(8;0;z)$. Подставляем: $56+56z=280$, $z=4$. Значит $P=(8;0;4)$, и сечение — четырёхугольник $A_1PCW$ (по порядку обхода).
Проверим, что это параллелограмм: $\overrightarrow{A_1P}=(8;0;-1)$ и $\overrightarrow{WC}=(8;0;-1)$ — равны, значит противоположные стороны параллельны и равны. Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения двух смежных сторон.
Берём смежные стороны $\overrightarrow{A_1P}=(8;0;-1)$ и $\overrightarrow{A_1W}=(0;7;-4)$. Их произведение $\overrightarrow{A_1P}\times\overrightarrow{A_1W}=(7;32;56)$, а длина $\sqrt{7^2+32^2+56^2}=\sqrt{49+1024+3136}=\sqrt{4209}$.
Значит площадь сечения равна $\sqrt{4209}$.
$\sqrt{4209}$.