ID: 00009021
Точка $E$ – середина ребра $CC_1$ куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью $A_1 B E$ — это равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны $2$.
Источник: ФИПИ
Возьмём ребро куба равным $2$ (так в пункте б) и введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(2;0;0)$, $C=(2;2;0)$, $D=(0;2;0)$, верхние — на высоте $2$. Точка $E$ — середина $CC_1$, то есть $E=(2;2;1)$.
Пункт а. Строим сечение плоскостью $A_1BE$. Точки $A_1=(0;0;2)$ и $B=(2;0;0)$ лежат на грани $ABB_1A_1$, а $E$ — на грани $BCC_1B_1$. Плоскость пересечёт ещё верхнюю грань; найдём четвёртую вершину $F$.
Сторона $A_1B$ лежит в грани $y=0$. Параллельно ей через $E$ внутри сечения пройдёт отрезок по верхней грани. Подсчёт даёт четвёртую точку $F=(1;2;2)$ — это середина ребра $C_1D_1$. Значит сечение — четырёхугольник $A_1BEF$.
Сравним стороны $A_1B$ и $FE$. $\overrightarrow{A_1B}=(2;0;-2)$, $\overrightarrow{FE}=(1;0;-1)$ — они сонаправлены (один в два раза длиннее другого), то есть $A_1B\parallel FE$. Значит четырёхугольник — трапеция.
Теперь боковые стороны: $\overrightarrow{BE}=(0;2;1)$, длина $\sqrt{0+4+1}=\sqrt5$; $\overrightarrow{A_1F}=(1;2;0)$, длина $\sqrt{1+4+0}=\sqrt5$. Боковые стороны равны, поэтому трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.
Пункт б. Считаем площадь трапеции. Основания: $A_1B=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt2$ и $FE=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2$. Боковая сторона $\sqrt5$.
Высоту трапеции найдём из боковой стороны: разность оснований $2\sqrt2-\sqrt2=\sqrt2$ делится пополам, так что $h=\sqrt{(\sqrt5)^2-\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{5-\tfrac12}=\sqrt{\tfrac92}=\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$.
Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту: $S=\dfrac{2\sqrt2+\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt2}{2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt2}{2}=\dfrac{9\cdot2}{4}=\dfrac92=4{,}5$.
$4,5$.