Возьмём ребро куба равным 2 (так в пункте б) и введём координаты: A=(0;0;0), B=(2;0;0), C=(2;2;0), D=(0;2;0), верхние — на высоте 2. Точка E — середина CC_1, то есть E=(2;2;1).

Пункт а. Строим сечение плоскостью A_1BE. Точки A_1=(0;0;2) и B=(2;0;0) лежат на грани ABB_1A_1, а E — на грани BCC_1B_1. Плоскость пересечёт ещё верхнюю грань; найдём четвёртую вершину F.

Сторона A_1B лежит в грани y=0. Параллельно ей через E внутри сечения пройдёт отрезок по верхней грани. Подсчёт даёт четвёртую точку F=(1;2;2) — это середина ребра C_1D_1. Значит сечение — четырёхугольник A_1BEF.

Сравним стороны A_1B и FE. \overrightarrow{A_1B}=(2;0;-2), \overrightarrow{FE}=(1;0;-1) — они сонаправлены (один в два раза длиннее другого), то есть A_1B\parallel FE. Значит четырёхугольник — трапеция.

Теперь боковые стороны: \overrightarrow{BE}=(0;2;1), длина \sqrt{0+4+1}=\sqrt5; \overrightarrow{A_1F}=(1;2;0), длина \sqrt{1+4+0}=\sqrt5. Боковые стороны равны, поэтому трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.

Пункт б. Считаем площадь трапеции. Основания: A_1B=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt2 и FE=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2. Боковая сторона \sqrt5.

Высоту трапеции найдём из боковой стороны: разность оснований 2\sqrt2-\sqrt2=\sqrt2 делится пополам, так что h=\sqrt{(\sqrt5)^2-\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{5-\tfrac12}=\sqrt{\tfrac92}=\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}.

Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту: S=\dfrac{2\sqrt2+\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt2}{2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt2}{2}=\dfrac{9\cdot2}{4}=\dfrac92=4{,}5.