Задание 15 ЕГЭ по математике №00013650

Пункт а (доказательство).

Введём координаты по вершинам призмы: $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C(3;3;0)$, $D(0;3;0)$, $A_1(0;0;\sqrt6)$, $B_1(3;0;\sqrt6)$, $C_1(3;3;\sqrt6)$, $D_1(0;3;\sqrt6)$.

По условию $AM=1$ на $AB$, значит $M(1;0;0)$. $A_1N=1$ на $A_1D_1$, значит $N(0;1;\sqrt6)$. $C_1K=1$ на $C_1D_1$, значит $K(2;3;\sqrt6)$.

Составим уравнение плоскости $MNK$. Векторы $\vec{MN}=(-1;1;\sqrt6)$ и $\vec{MK}=(1;3;\sqrt6)$, их векторное произведение даёт вектор нормали, пропорциональный $(\sqrt6;-\sqrt6;2)$. Уравнение плоскости: $\sqrt6\,x-\sqrt6\,y+2z=\sqrt6$.

Ищем точку $L$ на $BC$: точки этого ребра имеют вид $(3;t;0)$, $t\in[0;3]$. Подставляя в уравнение плоскости: $3\sqrt6-\sqrt6\,t=\sqrt6 \Rightarrow t=2$. Значит $L(3;2;0)$, то есть $BL=2$.

Проверяем стороны четырёхугольника $MNKL$:

$ML=\sqrt{(3-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2$;

$MN=\sqrt{(-1)^2+1^2+(\sqrt6)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2$;

$NK=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$;

$KL=\sqrt{1^2+1^2+6}=2\sqrt2$.

Все четыре стороны равны — $MNKL$ ромб. Сравним диагонали: $MK=\sqrt{1^2+3^2+6}=\sqrt{16}=4$, $NL=\sqrt{3^2+1^2+6}=\sqrt{16}=4$. Диагонали ромба равны, а это признак квадрата. Значит $MNKL$ — квадрат.

Пункт б (вычисление).

Сторона квадрата $MNKL$ равна $2\sqrt2$, поэтому его площадь $S=(2\sqrt2)^2=8$.

Тот же результат даёт формула площади через диагонали: $S=\dfrac{d_1 d_2}{2}=\dfrac{4\cdot4}{2}=8$.