Global EE

Задание 15 ЕГЭ по математике №00013640

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения параллелепипедов

№2. Задание 15

ID: 00013640

Точка $E$ — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью $A_1BE$ — равнобокая трапеция.

б) Найдите площадь сечения, если рёбра куба равны 2.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты с ребром куба $a=2$. Точка $E$ (середина $CC_1$) — середина соответствующего ребра.

Прямые, по которым секущая плоскость пересекает пару противоположных граней куба, параллельны (как линии пересечения плоскости с параллельными гранями), поэтому в сечении — трапеция; равенство боковых сторон даёт равнобокую трапецию. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Сечение проходит через точки $A_1$, $B$, $E$. Находим вершины сечения как точки пересечения плоскости с рёбрами куба.

Площадь полученной равнобокой трапеции равна $4{,}5$.

Ответ

4,5

Видеоразбор

Другие задания по теме «Сечения параллелепипедов» (8)