ID: 00013640
Точка E — середина ребра CC_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью A_1BE — равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь сечения, если рёбра куба равны 2.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты с ребром куба a=2. Точка E (середина CC_1) — середина соответствующего ребра.
Прямые, по которым секущая плоскость пересекает пару противоположных граней куба, параллельны (как линии пересечения плоскости с параллельными гранями), поэтому в сечении — трапеция; равенство боковых сторон даёт равнобокую трапецию. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Сечение проходит через точки A_1, B, E. Находим вершины сечения как точки пересечения плоскости с рёбрами куба.
Площадь полученной равнобокой трапеции равна 4{,}5.
Ответ: 4{,}5.
4,5