ID: 00009029
В правильной четырёхугольной призме $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ сторона основания равна $20$, а боковое ребро $AA_1 = 7$. Точка $M$ принадлежит ребру $A_1 D_1$ и делит его в отношении $2 : 3$, считая от вершины $D_1$.
а) Докажите, что точки $A$ и $C$ равноудалены от плоскости, проходящей через точки $B$, $D$ и $M$.
б) Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки $B$, $D$ и $M$.
Источник: ФИПИ
Введём координаты: основание — квадрат со стороной $20$. $A=(0;0;0)$, $B=(20;0;0)$, $C=(20;20;0)$, $D=(0;20;0)$, высота $7$: $A_1=(0;0;7)$ и т.д. Точка $M$ на $A_1D_1$ делит его $2:3$ от $D_1$. Ребро $A_1D_1$ идёт от $A_1=(0;0;7)$ до $D_1=(0;20;7)$; от $D_1$ это $\tfrac25$, поэтому $M=(0;12;7)$.
Пункт а. Найдём нормаль плоскости $BDM$: $\vec n=\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BM}$, где $\overrightarrow{BD}=(-20;20;0)$, $\overrightarrow{BM}=(-20;12;7)$. Получаем $\vec n=(140;140;160)$; сократим на $20$: $\vec n=(7;7;8)$.
Расстояния от $A$ и от $C$ до плоскости сравним по числителю $|\vec n\cdot\overrightarrow{BX}|$ (точка $B$ лежит в плоскости). Для $A$: $\overrightarrow{BA}=(-20;0;0)$, $\vec n\cdot\overrightarrow{BA}=7\cdot(-20)=-140$.
Для $C$: $\overrightarrow{BC}=(0;20;0)$, $\vec n\cdot\overrightarrow{BC}=7\cdot20=140$. Числители равны по модулю ($140$), а делитель $|\vec n|$ один и тот же — значит расстояния равны, точки $A$ и $C$ равноудалены от плоскости $BDM$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Найдём вершины сечения. Кроме $B$, $D$ (в основании) и $M$ (на $A_1D_1$), плоскость пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $P$. Ребро $A_1B_1$ — это точки $(x;0;7)$; подставим в уравнение $7x+7y+8z=7\cdot20$ (через $B$): $7x+56=140$, $x=12$, то есть $P=(12;0;7)$.
Сечение — четырёхугольник $D B P M$. Заметим, что $\overrightarrow{DB}=(20;-20;0)$ и $\overrightarrow{MP}=(12;-12;0)$ сонаправлены ($\overrightarrow{MP}=0{,}6\,\overrightarrow{DB}$), то есть это трапеция. Площадь найдём, разбив диагональю $DP$ на два треугольника.
Треугольник $DBP$: $\overrightarrow{DB}=(20;-20;0)$, $\overrightarrow{DP}=(12;-20;7)$, их произведение $(-140;-140;-160)$, длина $\sqrt{140^2+140^2+160^2}=\sqrt{64800}=180\sqrt2$, площадь $90\sqrt2$.
Треугольник $DPM$: $\overrightarrow{DP}=(12;-20;7)$, $\overrightarrow{DM}=(0;-8;7)$, их произведение $(-84;-84;-96)$, длина $\sqrt{84^2+84^2+96^2}=\sqrt{23328}=108\sqrt2$, площадь $54\sqrt2$.
Складываем: $S=90\sqrt2+54\sqrt2=144\sqrt2$.
$144\sqrt{2}$.