Введём координаты: основание — квадрат со стороной 20. A=(0;0;0), B=(20;0;0), C=(20;20;0), D=(0;20;0), высота 7: A_1=(0;0;7) и т.д. Точка M на A_1D_1 делит его 2:3 от D_1. Ребро A_1D_1 идёт от A_1=(0;0;7) до D_1=(0;20;7); от D_1 это \tfrac25, поэтому M=(0;12;7).

Пункт а. Найдём нормаль плоскости BDM: \vec n=\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BM}, где \overrightarrow{BD}=(-20;20;0), \overrightarrow{BM}=(-20;12;7). Получаем \vec n=(140;140;160); сократим на 20: \vec n=(7;7;8).

Расстояния от A и от C до плоскости сравним по числителю |\vec n\cdot\overrightarrow{BX}| (точка B лежит в плоскости). Для A: \overrightarrow{BA}=(-20;0;0), \vec n\cdot\overrightarrow{BA}=7\cdot(-20)=-140.

Для C: \overrightarrow{BC}=(0;20;0), \vec n\cdot\overrightarrow{BC}=7\cdot20=140. Числители равны по модулю (140), а делитель |\vec n| один и тот же — значит расстояния равны, точки A и C равноудалены от плоскости BDM, что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём вершины сечения. Кроме B, D (в основании) и M (на A_1D_1), плоскость пересекает ребро A_1B_1 в точке P. Ребро A_1B_1 — это точки (x;0;7); подставим в уравнение 7x+7y+8z=7\cdot20 (через B): 7x+56=140, x=12, то есть P=(12;0;7).

Сечение — четырёхугольник D B P M. Заметим, что \overrightarrow{DB}=(20;-20;0) и \overrightarrow{MP}=(12;-12;0) сонаправлены (\overrightarrow{MP}=0{,}6\,\overrightarrow{DB}), то есть это трапеция. Площадь найдём, разбив диагональю DP на два треугольника.

Треугольник DBP: \overrightarrow{DB}=(20;-20;0), \overrightarrow{DP}=(12;-20;7), их произведение (-140;-140;-160), длина \sqrt{140^2+140^2+160^2}=\sqrt{64800}=180\sqrt2, площадь 90\sqrt2.

Треугольник DPM: \overrightarrow{DP}=(12;-20;7), \overrightarrow{DM}=(0;-8;7), их произведение (-84;-84;-96), длина \sqrt{84^2+84^2+96^2}=\sqrt{23328}=108\sqrt2, площадь 54\sqrt2.

Складываем: S=90\sqrt2+54\sqrt2=144\sqrt2.