Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028748

Пункт а. Разберём уравнение по кусочкам: справа сидит синус со сдвигом, слева — косинус двойного угла. Приведём и то и другое к обычному синусу угла $x$, и уравнение станет квадратным относительно $\sin x$.

Начнём с правой части. Вычитание $\pi$, как и прибавление, переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому $\sin(x-\pi)=-\sin x$. Значит

$$\sqrt{3}-2\sin(x-\pi)=\sqrt{3}-2\cdot\left(-\sin x\right)=\sqrt{3}+2\sin x$$

Теперь левая часть. Кусок $1-\cos 2x$ сворачивается очень красиво: подставим $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$, тогда

$$1-\cos 2x=1-\left(1-2\sin^{2}x\right)=1-1+2\sin^{2}x=2\sin^{2}x$$

Уравнение принимает вид

$$2\sin^{2}x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x$$

Перенесём всё влево:

$$2\sin^{2}x+\sqrt{3}\sin x-2\sin x-\sqrt{3}=0$$

Четыре слагаемых — знакомый сигнал: попробуем группировку. Переставим слагаемые так, чтобы пары было видно, и вынесем из первой пары $2\sin x$, а из второй $\sqrt{3}$:

$$\left(2\sin^{2}x-2\sin x\right)+\left(\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\right)=2\sin x\left(\sin x-1\right)+\sqrt{3}\left(\sin x-1\right)$$

Скобка $\left(\sin x-1\right)$ повторилась — выносим её:

$$\left(\sin x-1\right)\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0$$

Первый множитель даёт $\sin x=1$. Это самая верхняя точка окружности, и она единственная, поэтому серия тоже одна:

$$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй множитель даёт $2\sin x+\sqrt{3}=0$, то есть

$$\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Синус отрицателен — значит точки лежат в нижней половине окружности, и их две:

$$x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Нужны корни из отрезка $\left[-5\pi;\,-\dfrac{7\pi}{2}\right]$, то есть от $-5\pi$ до $-3{,}5\pi$. Отрезок далеко в отрицательной области — почти два с половиной оборота назад, — поэтому окружность тут только запутает. Подставим каждую серию в двойное неравенство и найдём целые значения параметра.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$. Делим неравенство на $\pi$ и вычитаем $\dfrac12$:

$$-5-\dfrac{1}{2}\le 2n\le -\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -5{,}5\le 2n\le -4\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}75\le n\le -2$$

Подходит $n=-2$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}-4\pi=\dfrac{\pi-8\pi}{2}=-\dfrac{7\pi}{2}$$

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$. Здесь прибавляем $\dfrac13$:

$$-5+\dfrac{1}{3}\le 2n\le -\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{14}{3}\le 2n\le -\dfrac{19}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{3}\le n\le -\dfrac{19}{12}$$

Это примерно $-2{,}33\le n\le -1{,}58$, подходит $n=-2$:

$$x=-\dfrac{\pi}{3}-4\pi=\dfrac{-\pi-12\pi}{3}=-\dfrac{13\pi}{3}$$

Серия $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$. Прибавляем $\dfrac23$:

$$-5+\dfrac{2}{3}\le 2n\le -\dfrac{7}{2}+\dfrac{2}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{13}{3}\le 2n\le -\dfrac{17}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{13}{6}\le n\le -\dfrac{17}{12}$$

Это примерно $-2{,}17\le n\le -1{,}42$, подходит $n=-2$:

$$x=-\dfrac{2\pi}{3}-4\pi=\dfrac{-2\pi-12\pi}{3}=-\dfrac{14\pi}{3}$$

Расставим найденное по возрастанию: $-\dfrac{14\pi}{3}\approx -4{,}67\pi$, затем $-\dfrac{13\pi}{3}\approx -4{,}33\pi$, затем $-\dfrac{7\pi}{2}=-3{,}5\pi$. Все три числа лежат между $-5\pi$ и $-3{,}5\pi$.