Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 1 минус косинус 2x плюс корень из: начало…

Пункт а. Разберём уравнение по кусочкам: справа сидит синус со сдвигом, слева — косинус двойного угла. Приведём и то и другое к обычному синусу угла x, и уравнение станет квадратным относительно \sin x.

Начнём с правой части. Вычитание \pi, как и прибавление, переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому \sin(x-\pi)=-\sin x. Значит

\sqrt{3}-2\sin(x-\pi)=\sqrt{3}-2\cdot\left(-\sin x\right)=\sqrt{3}+2\sin x

Теперь левая часть. Кусок 1-\cos 2x сворачивается очень красиво: подставим \cos 2x=1-2\sin^{2}x, тогда

1-\cos 2x=1-\left(1-2\sin^{2}x\right)=1-1+2\sin^{2}x=2\sin^{2}x

Уравнение принимает вид

2\sin^{2}x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x

Перенесём всё влево:

2\sin^{2}x+\sqrt{3}\sin x-2\sin x-\sqrt{3}=0

Четыре слагаемых — знакомый сигнал: попробуем группировку. Переставим слагаемые так, чтобы пары было видно, и вынесем из первой пары 2\sin x, а из второй \sqrt{3}:

\left(2\sin^{2}x-2\sin x\right)+\left(\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\right)=2\sin x\left(\sin x-1\right)+\sqrt{3}\left(\sin x-1\right)

Скобка \left(\sin x-1\right) повторилась — выносим её:

\left(\sin x-1\right)\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0

Первый множитель даёт \sin x=1. Это самая верхняя точка окружности, и она единственная, поэтому серия тоже одна:

x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй множитель даёт 2\sin x+\sqrt{3}=0, то есть

\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Синус отрицателен — значит точки лежат в нижней половине окружности, и их две:

x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Нужны корни из отрезка \left[-5\pi;\,-\dfrac{7\pi}{2}\right], то есть от -5\pi до -3{,}5\pi. Отрезок далеко в отрицательной области — почти два с половиной оборота назад, — поэтому окружность тут только запутает. Подставим каждую серию в двойное неравенство и найдём целые значения параметра.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. Делим неравенство на \pi и вычитаем \dfrac12:

-5-\dfrac{1}{2}\le 2n\le -\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -5{,}5\le 2n\le -4\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}75\le n\le -2

Подходит n=-2:

x=\dfrac{\pi}{2}-4\pi=\dfrac{\pi-8\pi}{2}=-\dfrac{7\pi}{2}

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n. Здесь прибавляем \dfrac13:

-5+\dfrac{1}{3}\le 2n\le -\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{14}{3}\le 2n\le -\dfrac{19}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{3}\le n\le -\dfrac{19}{12}

Это примерно -2{,}33\le n\le -1{,}58, подходит n=-2:

x=-\dfrac{\pi}{3}-4\pi=\dfrac{-\pi-12\pi}{3}=-\dfrac{13\pi}{3}

Серия x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n. Прибавляем \dfrac23:

-5+\dfrac{2}{3}\le 2n\le -\dfrac{7}{2}+\dfrac{2}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{13}{3}\le 2n\le -\dfrac{17}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{13}{6}\le n\le -\dfrac{17}{12}

Это примерно -2{,}17\le n\le -1{,}42, подходит n=-2:

x=-\dfrac{2\pi}{3}-4\pi=\dfrac{-2\pi-12\pi}{3}=-\dfrac{14\pi}{3}

Расставим найденное по возрастанию: -\dfrac{14\pi}{3}\approx -4{,}67\pi, затем -\dfrac{13\pi}{3}\approx -4{,}33\pi, затем -\dfrac{7\pi}{2}=-3{,}5\pi. Все три числа лежат между -5\pi и -3{,}5\pi.