Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 2…

Пункт а. В уравнении два разных аргумента — 2x и x+\pi. Пока они разные, вынести общий множитель невозможно, поэтому первым делом сведём всё к обычному углу x.

Синус двойного угла раскрывается по формуле \sin 2x=2\sin x\cos x. А сдвиг на \pi переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому по формуле приведения \sin(x+\pi)=-\sin x. Подставим оба выражения:

2\sin x\cos x+\sqrt{2}\cdot\left(-\sin x\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0

Теперь в обоих слагаемых виден одинаковый множитель \sin x. Выносим его за скобку — именно выносим, а не сокращаем: синус может оказаться нулём, и тогда сокращение стёрло бы целую серию корней.

\sin x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0

Произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. Значит, получаем два простейших уравнения.

Первое: \sin x=0. Синус обращается в ноль в правой и левой точках окружности; между ними ровно \pi, поэтому обе точки описываются одной формулой:

x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второе: 2\cos x-\sqrt{2}=0, откуда

\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Косинус равен \dfrac{\sqrt{2}}{2} в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси, и дальше всё повторяется через полный оборот:

x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Теперь отбираем корни, попавшие на отрезок \left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right], то есть от -4\pi до -2{,}5\pi. Отрезок лежит на два оборота левее нуля, поэтому окружность рисовать неудобно — легко сбиться со счётом оборотов. Надёжнее записать условие «корень внутри отрезка» как двойное неравенство и перебрать целые значения параметра.

Серия x=\pi n. Подставляем и делим на \pi:

-4\pi\le \pi n\le -\dfrac{5\pi}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -4\le n\le -2{,}5

Целые здесь n=-4 и n=-3, то есть x=-4\pi и x=-3\pi.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n. Делим на \pi и вычитаем \dfrac14:

-4-\dfrac{1}{4}\le 2n\le -\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}25\le 2n\le -2{,}75

Делим на 2:

-2{,}125\le n\le -1{,}375

Целое здесь одно — n=-2:

x=\dfrac{\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi-16\pi}{4}=-\dfrac{15\pi}{4}

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n. Здесь прибавляем \dfrac14:

-4+\dfrac{1}{4}\le 2n\le -\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}75\le 2n\le -2{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad -1{,}875\le n\le -1{,}125

Между -1{,}875 и -1{,}125 целых чисел нет — эта серия на отрезок не попадает вовсе.

Расставим найденное по возрастанию: -4\pi, затем -\dfrac{15\pi}{4}=-3{,}75\pi, затем -3\pi. Все три числа не меньше -4\pi и не больше -2{,}5\pi — сходится, причём первый корень совпал с левым концом, а концы отрезка в него входят.