Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028747

Пункт а. В уравнении два разных аргумента — $2x$ и $x+\pi$. Пока они разные, вынести общий множитель невозможно, поэтому первым делом сведём всё к обычному углу $x$.

Синус двойного угла раскрывается по формуле $\sin 2x=2\sin x\cos x$. А сдвиг на $\pi$ переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому по формуле приведения $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Подставим оба выражения:

$$2\sin x\cos x+\sqrt{2}\cdot\left(-\sin x\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0$$

Теперь в обоих слагаемых виден одинаковый множитель $\sin x$. Выносим его за скобку — именно выносим, а не сокращаем: синус может оказаться нулём, и тогда сокращение стёрло бы целую серию корней.

$$\sin x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0$$

Произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. Значит, получаем два простейших уравнения.

Первое: $\sin x=0$. Синус обращается в ноль в правой и левой точках окружности; между ними ровно $\pi$, поэтому обе точки описываются одной формулой:

$$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второе: $2\cos x-\sqrt{2}=0$, откуда

$$\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Косинус равен $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси, и дальше всё повторяется через полный оборот:

$$x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Теперь отбираем корни, попавшие на отрезок $\left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right]$, то есть от $-4\pi$ до $-2{,}5\pi$. Отрезок лежит на два оборота левее нуля, поэтому окружность рисовать неудобно — легко сбиться со счётом оборотов. Надёжнее записать условие «корень внутри отрезка» как двойное неравенство и перебрать целые значения параметра.

Серия $x=\pi n$. Подставляем и делим на $\pi$:

$$-4\pi\le \pi n\le -\dfrac{5\pi}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -4\le n\le -2{,}5$$

Целые здесь $n=-4$ и $n=-3$, то есть $x=-4\pi$ и $x=-3\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$. Делим на $\pi$ и вычитаем $\dfrac14$:

$$-4-\dfrac{1}{4}\le 2n\le -\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}25\le 2n\le -2{,}75$$

Делим на $2$:

$$-2{,}125\le n\le -1{,}375$$

Целое здесь одно — $n=-2$:

$$x=\dfrac{\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi-16\pi}{4}=-\dfrac{15\pi}{4}$$

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$. Здесь прибавляем $\dfrac14$:

$$-4+\dfrac{1}{4}\le 2n\le -\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}75\le 2n\le -2{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad -1{,}875\le n\le -1{,}125$$

Между $-1{,}875$ и $-1{,}125$ целых чисел нет — эта серия на отрезок не попадает вовсе.

Расставим найденное по возрастанию: $-4\pi$, затем $-\dfrac{15\pi}{4}=-3{,}75\pi$, затем $-3\pi$. Все три числа не меньше $-4\pi$ и не больше $-2{,}5\pi$ — сходится, причём первый корень совпал с левым концом, а концы отрезка в него входят.