Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус левая круглая скобка x плюс дробь:…

Пункт а. Углы в уравнении разные: x+\dfrac{\pi}{3}, 2x и просто x. Сведём всё к одному углу — начнём с синуса суммы.

По формуле \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, где \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} и \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:

2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{1}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x

Подставим и перенесём правую часть влево:

\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x-\sin x-\sqrt{3}=0

Слагаемые \sin x и -\sin x гасят друг друга:

\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x-\sqrt{3}=0

Каждое слагаемое содержит \sqrt{3}, а это число не ноль — значит на него можно разделить:

\cos x-\cos 2x-1=0

Теперь раскроем косинус двойного угла в записи через косинус, ведь другая функция нам тут не нужна: \cos 2x=2\cos^{2}x-1. Аккуратно со знаком перед скобкой:

\cos x-\left(2\cos^{2}x-1\right)-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \cos x-2\cos^{2}x+1-1=0

Единицы уничтожаются:

\cos x-2\cos^{2}x=0

Выносим \cos x за скобку:

\cos x\left(1-2\cos x\right)=0

Первый множитель даёт \cos x=0 — верхнюю и нижнюю точки окружности, расстояние между ними \pi:

x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй множитель даёт 1-2\cos x=0, то есть \cos x=\dfrac{1}{2} — две точки, симметричные относительно горизонтальной оси:

x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отбираем корни из отрезка \left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]. Запишем условие «корень лежит на отрезке» как двойное неравенство и найдём в каждой серии подходящие целые значения параметра.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n. Делим на \pi и вычитаем \dfrac12:

-2-\dfrac{1}{2}\le n\le -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}5\le n\le -1

Подходят n=-2 и n=-1:

x=\dfrac{\pi}{2}-2\pi=-\dfrac{3\pi}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{2}-\pi=-\dfrac{\pi}{2}

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n:

-2-\dfrac{1}{3}\le 2n\le -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{3}\le 2n\le -\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{6}\le n\le -\dfrac{5}{12}

Это примерно -1{,}17\le n\le -0{,}42, подходит n=-1:

x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=\dfrac{\pi-6\pi}{3}=-\dfrac{5\pi}{3}

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n:

-2+\dfrac{1}{3}\le 2n\le -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{3}\le 2n\le -\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{6}\le n\le -\dfrac{1}{12}

Между -0{,}83 и -0{,}08 целых чисел нет — эта серия ничего не даёт.

Расставим корни по возрастанию: -\dfrac{5\pi}{3}\approx -1{,}67\pi, затем -\dfrac{3\pi}{2}=-1{,}5\pi, затем -\dfrac{\pi}{2} — все внутри отрезка.