Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028746

Пункт а. Углы в уравнении разные: $x+\dfrac{\pi}{3}$, $2x$ и просто $x$. Сведём всё к одному углу — начнём с синуса суммы.

По формуле $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$, где $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ и $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{1}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$$

Подставим и перенесём правую часть влево:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x-\sin x-\sqrt{3}=0$$

Слагаемые $\sin x$ и $-\sin x$ гасят друг друга:

$$\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x-\sqrt{3}=0$$

Каждое слагаемое содержит $\sqrt{3}$, а это число не ноль — значит на него можно разделить:

$$\cos x-\cos 2x-1=0$$

Теперь раскроем косинус двойного угла в записи через косинус, ведь другая функция нам тут не нужна: $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$. Аккуратно со знаком перед скобкой:

$$\cos x-\left(2\cos^{2}x-1\right)-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \cos x-2\cos^{2}x+1-1=0$$

Единицы уничтожаются:

$$\cos x-2\cos^{2}x=0$$

Выносим $\cos x$ за скобку:

$$\cos x\left(1-2\cos x\right)=0$$

Первый множитель даёт $\cos x=0$ — верхнюю и нижнюю точки окружности, расстояние между ними $\pi$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй множитель даёт $1-2\cos x=0$, то есть $\cos x=\dfrac{1}{2}$ — две точки, симметричные относительно горизонтальной оси:

$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отбираем корни из отрезка $\left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]$. Запишем условие «корень лежит на отрезке» как двойное неравенство и найдём в каждой серии подходящие целые значения параметра.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$. Делим на $\pi$ и вычитаем $\dfrac12$:

$$-2-\dfrac{1}{2}\le n\le -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}5\le n\le -1$$

Подходят $n=-2$ и $n=-1$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}-2\pi=-\dfrac{3\pi}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{2}-\pi=-\dfrac{\pi}{2}$$

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$:

$$-2-\dfrac{1}{3}\le 2n\le -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{3}\le 2n\le -\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{6}\le n\le -\dfrac{5}{12}$$

Это примерно $-1{,}17\le n\le -0{,}42$, подходит $n=-1$:

$$x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=\dfrac{\pi-6\pi}{3}=-\dfrac{5\pi}{3}$$

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$:

$$-2+\dfrac{1}{3}\le 2n\le -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{3}\le 2n\le -\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{6}\le n\le -\dfrac{1}{12}$$

Между $-0{,}83$ и $-0{,}08$ целых чисел нет — эта серия ничего не даёт.

Расставим корни по возрастанию: $-\dfrac{5\pi}{3}\approx -1{,}67\pi$, затем $-\dfrac{3\pi}{2}=-1{,}5\pi$, затем $-\dfrac{\pi}{2}$ — все внутри отрезка.