Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус в квадрате x плюс корень из: начало…

Пункт а. В левой части сидит синус суммы, а справа — одинокий косинус. Стоит раскрыть синус суммы, как косинус найдёт себе пару и сократится.

Формула синуса суммы: \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. Для угла \dfrac{\pi}{4} и синус, и косинус равны \dfrac{\sqrt{2}}{2}, а множитель \sqrt{2} перед скобкой всё красиво упростит, ведь \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{2}=1:

\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x

Подставляем в уравнение:

2\sin^{2}x+\sin x+\cos x=\cos x

Косинус стоит и слева, и справа — он уходит:

2\sin^{2}x+\sin x=0

Осталось совсем простое выражение. Выносим \sin x за скобку (сокращать на него нельзя — синус вполне может быть нулём, и мы потеряли бы целую серию):

\sin x\left(2\sin x+1\right)=0

Первый множитель: \sin x=0. Синус равен нулю в правой и левой точках окружности, а между ними ровно \pi:

x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй множитель: 2\sin x+1=0, то есть \sin x=-\dfrac{1}{2}. Такое значение синус принимает в двух точках нижней половины окружности:

x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Нужны корни из отрезка \left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]. Отрезок короткий (всего три четверти оборота) и лежит недалеко от нуля, поэтому можно просто подставлять в каждую серию небольшие целые значения параметра и смотреть, попал корень или нет.

Серия x=\pi n. При n=-1 выходит -\pi, и -2\pi\lt -\pi\lt -\dfrac{\pi}{2} — подходит. При n=-2 выходит -2\pi — это левый конец отрезка, а концы входят, значит тоже подходит. При n=0 получаем 0, это правее отрезка; при n=-3 получаем -3\pi — левее.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n. При n=0: x=-\dfrac{\pi}{6}\approx -0{,}17\pi — это правее, чем -\dfrac{\pi}{2}=-0{,}5\pi, не подходит. При n=-1: x=-\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{13\pi}{6}\approx -2{,}17\pi — левее, чем -2\pi, тоже не подходит. Серия пустая.

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n. При n=0: x=-\dfrac{5\pi}{6}\approx -0{,}83\pi, и это между -2\pi и -0{,}5\pi — подходит. При n=-1 получится -\dfrac{17\pi}{6}\approx -2{,}83\pi, далеко левее; при n=1 — уже положительное число.

Расставим найденное по возрастанию: -2\pi, затем -\pi, затем -\dfrac{5\pi}{6}.