Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028745

Пункт а. В левой части сидит синус суммы, а справа — одинокий косинус. Стоит раскрыть синус суммы, как косинус найдёт себе пару и сократится.

Формула синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$. Для угла $\dfrac{\pi}{4}$ и синус, и косинус равны $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, а множитель $\sqrt{2}$ перед скобкой всё красиво упростит, ведь $\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{2}=1$:

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x$$

Подставляем в уравнение:

$$2\sin^{2}x+\sin x+\cos x=\cos x$$

Косинус стоит и слева, и справа — он уходит:

$$2\sin^{2}x+\sin x=0$$

Осталось совсем простое выражение. Выносим $\sin x$ за скобку (сокращать на него нельзя — синус вполне может быть нулём, и мы потеряли бы целую серию):

$$\sin x\left(2\sin x+1\right)=0$$

Первый множитель: $\sin x=0$. Синус равен нулю в правой и левой точках окружности, а между ними ровно $\pi$:

$$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй множитель: $2\sin x+1=0$, то есть $\sin x=-\dfrac{1}{2}$. Такое значение синус принимает в двух точках нижней половины окружности:

$$x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Нужны корни из отрезка $\left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]$. Отрезок короткий (всего три четверти оборота) и лежит недалеко от нуля, поэтому можно просто подставлять в каждую серию небольшие целые значения параметра и смотреть, попал корень или нет.

Серия $x=\pi n$. При $n=-1$ выходит $-\pi$, и $-2\pi\lt -\pi\lt -\dfrac{\pi}{2}$ — подходит. При $n=-2$ выходит $-2\pi$ — это левый конец отрезка, а концы входят, значит тоже подходит. При $n=0$ получаем $0$, это правее отрезка; при $n=-3$ получаем $-3\pi$ — левее.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$. При $n=0$: $x=-\dfrac{\pi}{6}\approx -0{,}17\pi$ — это правее, чем $-\dfrac{\pi}{2}=-0{,}5\pi$, не подходит. При $n=-1$: $x=-\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{13\pi}{6}\approx -2{,}17\pi$ — левее, чем $-2\pi$, тоже не подходит. Серия пустая.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. При $n=0$: $x=-\dfrac{5\pi}{6}\approx -0{,}83\pi$, и это между $-2\pi$ и $-0{,}5\pi$ — подходит. При $n=-1$ получится $-\dfrac{17\pi}{6}\approx -2{,}83\pi$, далеко левее; при $n=1$ — уже положительное число.

Расставим найденное по возрастанию: $-2\pi$, затем $-\pi$, затем $-\dfrac{5\pi}{6}$.