Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус x плюс 2 корень из: начало…

Пункт а. Уравнение почти целиком про синус — мешает только квадрат косинуса и минус внутри аргумента. Разберёмся с этим по очереди.

Синус — функция нечётная: при смене знака аргумента меняется и знак значения, то есть \sin(-x)=-\sin x. Значит второе слагаемое равно -2\sqrt{3}\sin x. Перенесём заодно всё вправо налево:

2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-4\cos^{2}x-\sqrt{3}+4=0

Теперь обратим внимание на кусок 4-4\cos^{2}x. Вынесем четвёрку и применим основное тригонометрическое тождество 1-\cos^{2}x=\sin^{2}x:

4-4\cos^{2}x=4\left(1-\cos^{2}x\right)=4\sin^{2}x

Уравнение стало полностью синусным:

4\sin^{2}x+2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0

Четыре слагаемых — самое время для группировки. Из первой пары вынесем 2\sin x:

4\sin^{2}x+2\sin x=2\sin x\left(2\sin x+1\right)

Из второй пары вынесем -\sqrt{3}; проверим: -\sqrt{3}\cdot 2\sin x=-2\sqrt{3}\sin x — верно, -\sqrt{3}\cdot 1=-\sqrt{3} — тоже верно. Значит

-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\left(2\sin x+1\right)

Скобки совпали, выносим общий множитель:

\left(2\sin x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0

Первый множитель даёт \sin x=-\dfrac{1}{2} — две точки нижней половины окружности:

x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй даёт \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} — две точки верхней половины:

x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отбираем корни, попавшие на отрезок \left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right], то есть от 2\pi до 3{,}5\pi. Серий четыре, поэтому пройдёмся по ним по порядку: подставим общую формулу в двойное неравенство, поделим на \pi и найдём целые значения параметра.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n:

2+\dfrac{1}{6}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{6}\le 2n\le \dfrac{11}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\le n\le \dfrac{11}{6}

Это примерно 1{,}08\le n\le 1{,}83 — целых нет.

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n:

2+\dfrac{5}{6}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{6}\le 2n\le \dfrac{13}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\le n\le \dfrac{13}{6}

Примерно 1{,}42\le n\le 2{,}17, подходит n=2: x=-\dfrac{5\pi}{6}+4\pi=\dfrac{-5\pi+24\pi}{6}=\dfrac{19\pi}{6}.

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n:

2-\dfrac{1}{3}\le 2n\le \dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{5}{3}\le 2n\le \dfrac{19}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{5}{6}\le n\le \dfrac{19}{12}

Примерно 0{,}83\le n\le 1{,}58, подходит n=1: x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi+6\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}.

Серия x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n:

2-\dfrac{2}{3}\le 2n\le \dfrac{7}{2}-\dfrac{2}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{4}{3}\le 2n\le \dfrac{17}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2}{3}\le n\le \dfrac{17}{12}

Примерно 0{,}67\le n\le 1{,}42, подходит n=1: x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi=\dfrac{2\pi+6\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{3}.

Расставим по возрастанию: \dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi, \dfrac{8\pi}{3}\approx 2{,}67\pi, \dfrac{19\pi}{6}\approx 3{,}17\pi — все три внутри отрезка.