Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028744

Пункт а. Уравнение почти целиком про синус — мешает только квадрат косинуса и минус внутри аргумента. Разберёмся с этим по очереди.

Синус — функция нечётная: при смене знака аргумента меняется и знак значения, то есть $\sin(-x)=-\sin x$. Значит второе слагаемое равно $-2\sqrt{3}\sin x$. Перенесём заодно всё вправо налево:

$$2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-4\cos^{2}x-\sqrt{3}+4=0$$

Теперь обратим внимание на кусок $4-4\cos^{2}x$. Вынесем четвёрку и применим основное тригонометрическое тождество $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$:

$$4-4\cos^{2}x=4\left(1-\cos^{2}x\right)=4\sin^{2}x$$

Уравнение стало полностью синусным:

$$4\sin^{2}x+2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0$$

Четыре слагаемых — самое время для группировки. Из первой пары вынесем $2\sin x$:

$$4\sin^{2}x+2\sin x=2\sin x\left(2\sin x+1\right)$$

Из второй пары вынесем $-\sqrt{3}$; проверим: $-\sqrt{3}\cdot 2\sin x=-2\sqrt{3}\sin x$ — верно, $-\sqrt{3}\cdot 1=-\sqrt{3}$ — тоже верно. Значит

$$-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\left(2\sin x+1\right)$$

Скобки совпали, выносим общий множитель:

$$\left(2\sin x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0$$

Первый множитель даёт $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ — две точки нижней половины окружности:

$$x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй даёт $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — две точки верхней половины:

$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отбираем корни, попавшие на отрезок $\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]$, то есть от $2\pi$ до $3{,}5\pi$. Серий четыре, поэтому пройдёмся по ним по порядку: подставим общую формулу в двойное неравенство, поделим на $\pi$ и найдём целые значения параметра.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$:

$$2+\dfrac{1}{6}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{6}\le 2n\le \dfrac{11}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\le n\le \dfrac{11}{6}$$

Это примерно $1{,}08\le n\le 1{,}83$ — целых нет.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$:

$$2+\dfrac{5}{6}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{6}\le 2n\le \dfrac{13}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\le n\le \dfrac{13}{6}$$

Примерно $1{,}42\le n\le 2{,}17$, подходит $n=2$: $x=-\dfrac{5\pi}{6}+4\pi=\dfrac{-5\pi+24\pi}{6}=\dfrac{19\pi}{6}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$:

$$2-\dfrac{1}{3}\le 2n\le \dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{5}{3}\le 2n\le \dfrac{19}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{5}{6}\le n\le \dfrac{19}{12}$$

Примерно $0{,}83\le n\le 1{,}58$, подходит $n=1$: $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{\pi+6\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}$.

Серия $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$:

$$2-\dfrac{2}{3}\le 2n\le \dfrac{7}{2}-\dfrac{2}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{4}{3}\le 2n\le \dfrac{17}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2}{3}\le n\le \dfrac{17}{12}$$

Примерно $0{,}67\le n\le 1{,}42$, подходит $n=1$: $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi=\dfrac{2\pi+6\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{3}$.

Расставим по возрастанию: $\dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi$, $\dfrac{8\pi}{3}\approx 2{,}67\pi$, $\dfrac{19\pi}{6}\approx 3{,}17\pi$ — все три внутри отрезка.