Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028743

Пункт а. В уравнении есть и косинус, и синус, да ещё со сдвигом. Сначала уберём сдвиг, потом приведём всё к одной функции — и получится обычное квадратное уравнение.

Прибавление $\pi$ переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому синус меняет знак: $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Подставляем:

$$2\cos^{2}x-3\sin x-3=0$$

Теперь избавимся от косинуса. Основное тригонометрическое тождество $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ даёт $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$:

$$2\left(1-\sin^{2}x\right)-3\sin x-3=0$$

Раскроем скобки: $2\cdot 1=2$ и $2\cdot\left(-\sin^{2}x\right)=-2\sin^{2}x$, а $2-3=-1$:

$$2-2\sin^{2}x-3\sin x-3=0\quad\Longleftrightarrow\quad -2\sin^{2}x-3\sin x-1=0$$

Умножим обе части на $-1$, чтобы старший коэффициент стал положительным:

$$2\sin^{2}x+3\sin x+1=0$$

Обозначим $t=\sin x$ и решим квадратное уравнение $2t^{2}+3t+1=0$. Дискриминант:

$$D=3^{2}-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,\qquad \sqrt{D}=1$$

Корни:

$$t_{1}=\dfrac{-3+1}{2\cdot 2}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2},\qquad t_{2}=\dfrac{-3-1}{4}=-1$$

Оба значения годятся: синус умеет принимать и $-\dfrac12$, и $-1$ (напомним, синус живёт в промежутке от $-1$ до $1$).

Первый случай: $\sin x=-1$. Это самая нижняя точка окружности, и она одна, поэтому серия тоже одна:

$$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй случай: $\sin x=-\dfrac{1}{2}$. Тут точек уже две — в нижней половине окружности:

$$x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Нужны корни из отрезка $\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]$, то есть от $2\pi$ до $3{,}5\pi$. Подставим каждую серию в двойное неравенство и найдём подходящие целые значения параметра.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$. Делим на $\pi$ и прибавляем $\dfrac12$:

$$2+\dfrac{1}{2}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{,}5\le 2n\le 4\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}25\le n\le 2$$

Подходит $n=2$:

$$x=-\dfrac{\pi}{2}+4\pi=\dfrac{-\pi+8\pi}{2}=\dfrac{7\pi}{2}$$

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$:

$$2+\dfrac{1}{6}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{6}\le 2n\le \dfrac{11}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\le n\le \dfrac{11}{6}$$

Это примерно $1{,}08\le n\le 1{,}83$ — целых нет, серия пустая.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$:

$$2+\dfrac{5}{6}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{6}\le 2n\le \dfrac{13}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\le n\le \dfrac{13}{6}$$

Это примерно $1{,}42\le n\le 2{,}17$, подходит $n=2$:

$$x=-\dfrac{5\pi}{6}+4\pi=\dfrac{-5\pi+24\pi}{6}=\dfrac{19\pi}{6}$$

Проверим себя: $\dfrac{19\pi}{6}\approx 3{,}17\pi$ и $\dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi$ — оба между $2\pi$ и $3{,}5\pi$, причём второй корень совпал с правым концом, а концы отрезка входят в него.