Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 косинус в квадрате x плюс 3 синус левая…

Пункт а. В уравнении есть и косинус, и синус, да ещё со сдвигом. Сначала уберём сдвиг, потом приведём всё к одной функции — и получится обычное квадратное уравнение.

Прибавление \pi переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому синус меняет знак: \sin(x+\pi)=-\sin x. Подставляем:

2\cos^{2}x-3\sin x-3=0

Теперь избавимся от косинуса. Основное тригонометрическое тождество \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 даёт \cos^{2}x=1-\sin^{2}x:

2\left(1-\sin^{2}x\right)-3\sin x-3=0

Раскроем скобки: 2\cdot 1=2 и 2\cdot\left(-\sin^{2}x\right)=-2\sin^{2}x, а 2-3=-1:

2-2\sin^{2}x-3\sin x-3=0\quad\Longleftrightarrow\quad -2\sin^{2}x-3\sin x-1=0

Умножим обе части на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным:

2\sin^{2}x+3\sin x+1=0

Обозначим t=\sin x и решим квадратное уравнение 2t^{2}+3t+1=0. Дискриминант:

D=3^{2}-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,\qquad \sqrt{D}=1

Корни:

t_{1}=\dfrac{-3+1}{2\cdot 2}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2},\qquad t_{2}=\dfrac{-3-1}{4}=-1

Оба значения годятся: синус умеет принимать и -\dfrac12, и -1 (напомним, синус живёт в промежутке от -1 до 1).

Первый случай: \sin x=-1. Это самая нижняя точка окружности, и она одна, поэтому серия тоже одна:

x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй случай: \sin x=-\dfrac{1}{2}. Тут точек уже две — в нижней половине окружности:

x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Нужны корни из отрезка \left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right], то есть от 2\pi до 3{,}5\pi. Подставим каждую серию в двойное неравенство и найдём подходящие целые значения параметра.

Серия x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. Делим на \pi и прибавляем \dfrac12:

2+\dfrac{1}{2}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{,}5\le 2n\le 4\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}25\le n\le 2

Подходит n=2:

x=-\dfrac{\pi}{2}+4\pi=\dfrac{-\pi+8\pi}{2}=\dfrac{7\pi}{2}

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n:

2+\dfrac{1}{6}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{6}\le 2n\le \dfrac{11}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\le n\le \dfrac{11}{6}

Это примерно 1{,}08\le n\le 1{,}83 — целых нет, серия пустая.

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n:

2+\dfrac{5}{6}\le 2n\le \dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{6}\le 2n\le \dfrac{13}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\le n\le \dfrac{13}{6}

Это примерно 1{,}42\le n\le 2{,}17, подходит n=2:

x=-\dfrac{5\pi}{6}+4\pi=\dfrac{-5\pi+24\pi}{6}=\dfrac{19\pi}{6}

Проверим себя: \dfrac{19\pi}{6}\approx 3{,}17\pi и \dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi — оба между 2\pi и 3{,}5\pi, причём второй корень совпал с правым концом, а концы отрезка входят в него.