Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 косинус в кубе x плюс корень из: начало…

Пункт а. Тригонометрии здесь ровно столько, сколько в самом конце: во всех четырёх слагаемых стоит одна и та же функция — косинус, только в разных степенях. Это замаскированное кубическое уравнение.

Обозначим t=\cos x. Тогда уравнение выглядит так:

2t^{3}+\sqrt{3}t^{2}+2t+\sqrt{3}=0

Четыре слагаемых — сигнал попробовать группировку: разбить их на две пары и в каждой вынести общий множитель. Возьмём первые два и последние два:

\left(2t^{3}+\sqrt{3}t^{2}\right)+\left(2t+\sqrt{3}\right)=t^{2}\left(2t+\sqrt{3}\right)+\left(2t+\sqrt{3}\right)

Скобка \left(2t+\sqrt{3}\right) повторилась — выносим её:

\left(2t+\sqrt{3}\right)\left(t^{2}+1\right)=0

Второй множитель нулём быть не может: квадрат любого числа неотрицателен, значит t^{2}+1\ge 1. Остаётся

2t+\sqrt{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Возвращаемся к x:

\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Косинус отрицателен — значит точки лежат в левой половине окружности; их две, симметричные относительно горизонтальной оси:

x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отбирать корни из отрезка \left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right] удобно по числовой окружности. Левый конец -2\pi — это полный оборот назад, то есть та же правая точка окружности, что и ноль. От неё мы идём вперёд (против часовой стрелки) до -\dfrac{\pi}{2}, а это на -\dfrac{\pi}{2}-(-2\pi)=\dfrac{3\pi}{2} дальше — три четверти оборота, до нижней точки. Итого рабочая дуга — от правой точки через верхнюю и левую до нижней; в привычных углах это все значения от 0 до \dfrac{3\pi}{2}, из которых потом надо вычесть 2\pi.

Где на окружности косинус равен -\dfrac{\sqrt{3}}{2}? В точках \dfrac{5\pi}{6} (второй квадрант) и \dfrac{7\pi}{6} (третий квадрант). Обе меньше \dfrac{3\pi}{2}, значит обе попали на дугу.

Переводим их обратно, вычитая полный оборот:

x=\dfrac{5\pi}{6}-2\pi=\dfrac{5\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{6}

x=\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=\dfrac{7\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{6}

Проверим себя: -\dfrac{7\pi}{6}\approx -1{,}17\pi и -\dfrac{5\pi}{6}\approx -0{,}83\pi — оба числа лежат между -2\pi и -0{,}5\pi.