Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028742

Пункт а. Тригонометрии здесь ровно столько, сколько в самом конце: во всех четырёх слагаемых стоит одна и та же функция — косинус, только в разных степенях. Это замаскированное кубическое уравнение.

Обозначим $t=\cos x$. Тогда уравнение выглядит так:

$$2t^{3}+\sqrt{3}t^{2}+2t+\sqrt{3}=0$$

Четыре слагаемых — сигнал попробовать группировку: разбить их на две пары и в каждой вынести общий множитель. Возьмём первые два и последние два:

$$\left(2t^{3}+\sqrt{3}t^{2}\right)+\left(2t+\sqrt{3}\right)=t^{2}\left(2t+\sqrt{3}\right)+\left(2t+\sqrt{3}\right)$$

Скобка $\left(2t+\sqrt{3}\right)$ повторилась — выносим её:

$$\left(2t+\sqrt{3}\right)\left(t^{2}+1\right)=0$$

Второй множитель нулём быть не может: квадрат любого числа неотрицателен, значит $t^{2}+1\ge 1$. Остаётся

$$2t+\sqrt{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Возвращаемся к $x$:

$$\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Косинус отрицателен — значит точки лежат в левой половине окружности; их две, симметричные относительно горизонтальной оси:

$$x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отбирать корни из отрезка $\left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]$ удобно по числовой окружности. Левый конец $-2\pi$ — это полный оборот назад, то есть та же правая точка окружности, что и ноль. От неё мы идём вперёд (против часовой стрелки) до $-\dfrac{\pi}{2}$, а это на $-\dfrac{\pi}{2}-(-2\pi)=\dfrac{3\pi}{2}$ дальше — три четверти оборота, до нижней точки. Итого рабочая дуга — от правой точки через верхнюю и левую до нижней; в привычных углах это все значения от $0$ до $\dfrac{3\pi}{2}$, из которых потом надо вычесть $2\pi$.

Где на окружности косинус равен $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$? В точках $\dfrac{5\pi}{6}$ (второй квадрант) и $\dfrac{7\pi}{6}$ (третий квадрант). Обе меньше $\dfrac{3\pi}{2}$, значит обе попали на дугу.

Переводим их обратно, вычитая полный оборот:

$$x=\dfrac{5\pi}{6}-2\pi=\dfrac{5\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{6}$$

$$x=\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=\dfrac{7\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{6}$$

Проверим себя: $-\dfrac{7\pi}{6}\approx -1{,}17\pi$ и $-\dfrac{5\pi}{6}\approx -0{,}83\pi$ — оба числа лежат между $-2\pi$ и $-0{,}5\pi$.