Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение косинус 2x плюс корень из: начало аргумента:…

Пункт а. В уравнении встретились двойной угол и сдвиг на \pi. План простой: и то и другое перевести в обычный косинус угла x, а дальше разложить на множители.

Сдвиг на \pi переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому косинус меняет знак: \cos(x+\pi)=-\cos x. Подставим:

\cos 2x-\sqrt{2}\cos x+1=0

Косинус двойного угла удобно взять в записи через косинус — тогда всё уравнение будет про одну функцию. Это \cos 2x=2\cos^{2}x-1:

2\cos^{2}x-1-\sqrt{2}\cos x+1=0

Минус единица и плюс единица уничтожаются:

2\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x=0

Выносим \cos x за скобку (именно выносим, а не сокращаем — косинус может оказаться нулём, и этот корень терять нельзя):

\cos x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0

Первый множитель даёт \cos x=0. Это верхняя и нижняя точки окружности, расстояние между ними \pi:

x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй множитель: 2\cos x-\sqrt{2}=0, то есть

\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Такое значение косинус принимает в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси:

x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отбираем корни из отрезка \left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right], то есть от -4\pi до -2{,}5\pi. Отрезок лежит на два оборота левее нуля, поэтому окружность рисовать неудобно — подставим каждую серию в двойное неравенство.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n. Делим неравенство на \pi и вычитаем \dfrac12:

-4-\dfrac{1}{2}\le n\le -\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}5\le n\le -3

Подходят n=-4 и n=-3:

x=\dfrac{\pi}{2}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{2}-3\pi=-\dfrac{5\pi}{2}

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n:

-4-\dfrac{1}{4}\le 2n\le -\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}25\le 2n\le -2{,}75\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}125\le n\le -1{,}375

Целое здесь одно — n=-2:

x=\dfrac{\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi-16\pi}{4}=-\dfrac{15\pi}{4}

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n:

-4+\dfrac{1}{4}\le 2n\le -\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}75\le 2n\le -2{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad -1{,}875\le n\le -1{,}125

Целых чисел в этом промежутке нет — серия ничего не даёт.

Выстроим корни по возрастанию: -\dfrac{15\pi}{4}=-3{,}75\pi, затем -\dfrac{7\pi}{2}=-3{,}5\pi, затем -\dfrac{5\pi}{2}=-2{,}5\pi — все не меньше -4\pi и не больше -2{,}5\pi.