Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028741

Пункт а. В уравнении встретились двойной угол и сдвиг на $\pi$. План простой: и то и другое перевести в обычный косинус угла $x$, а дальше разложить на множители.

Сдвиг на $\pi$ переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому косинус меняет знак: $\cos(x+\pi)=-\cos x$. Подставим:

$$\cos 2x-\sqrt{2}\cos x+1=0$$

Косинус двойного угла удобно взять в записи через косинус — тогда всё уравнение будет про одну функцию. Это $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$:

$$2\cos^{2}x-1-\sqrt{2}\cos x+1=0$$

Минус единица и плюс единица уничтожаются:

$$2\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x=0$$

Выносим $\cos x$ за скобку (именно выносим, а не сокращаем — косинус может оказаться нулём, и этот корень терять нельзя):

$$\cos x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0$$

Первый множитель даёт $\cos x=0$. Это верхняя и нижняя точки окружности, расстояние между ними $\pi$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй множитель: $2\cos x-\sqrt{2}=0$, то есть

$$\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Такое значение косинус принимает в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси:

$$x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отбираем корни из отрезка $\left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right]$, то есть от $-4\pi$ до $-2{,}5\pi$. Отрезок лежит на два оборота левее нуля, поэтому окружность рисовать неудобно — подставим каждую серию в двойное неравенство.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$. Делим неравенство на $\pi$ и вычитаем $\dfrac12$:

$$-4-\dfrac{1}{2}\le n\le -\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}5\le n\le -3$$

Подходят $n=-4$ и $n=-3$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{2}-3\pi=-\dfrac{5\pi}{2}$$

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$:

$$-4-\dfrac{1}{4}\le 2n\le -\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}25\le 2n\le -2{,}75\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}125\le n\le -1{,}375$$

Целое здесь одно — $n=-2$:

$$x=\dfrac{\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi-16\pi}{4}=-\dfrac{15\pi}{4}$$

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$:

$$-4+\dfrac{1}{4}\le 2n\le -\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}75\le 2n\le -2{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad -1{,}875\le n\le -1{,}125$$

Целых чисел в этом промежутке нет — серия ничего не даёт.

Выстроим корни по возрастанию: $-\dfrac{15\pi}{4}=-3{,}75\pi$, затем $-\dfrac{7\pi}{2}=-3{,}5\pi$, затем $-\dfrac{5\pi}{2}=-2{,}5\pi$ — все не меньше $-4\pi$ и не больше $-2{,}5\pi$.