Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028740

Пункт а. Уравнение выглядит громоздко из-за корней, но половина работы — это просто аккуратно упростить записи. Начнём с корней: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$ и $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.

Дальше уберём непривычный аргумент. Вычитание из $\pi$ отражает точку окружности относительно вертикальной оси, поэтому косинус меняет знак: $\cos(\pi-2x)=-\cos 2x$. Перенесём всё влево:

$$2-2\cos 2x+2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=0$$

Теперь взглянем на первые два слагаемых. Косинус двойного угла в записи через синус — это $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$, поэтому

$$2-2\cos 2x=2-2\left(1-2\sin^{2}x\right)=2-2+4\sin^{2}x=4\sin^{2}x$$

Уравнение стало заметно приятнее:

$$4\sin^{2}x+2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=0$$

Четыре слагаемых — верный признак того, что поможет группировка. Разобьём их на две пары. В первой вынесем $2\sin x$:

$$4\sin^{2}x+2\sqrt{2}\sin x=2\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)$$

Во второй вынесем $-\sqrt{3}$; проверим, что это работает: $-\sqrt{3}\cdot 2\sin x=-2\sqrt{3}\sin x$ — верно, и $-\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=-\sqrt{6}$ — тоже верно. Значит

$$-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=-\sqrt{3}\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)$$

Скобки совпали, выносим их:

$$\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0$$

Первый множитель даёт $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — это две точки нижней половины окружности:

$$x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй даёт $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — две точки верхней половины:

$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Серий четыре, отрезок $\left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]$ далеко от нуля — тут спасает только аккуратность. Каждую серию подставим в двойное неравенство, поделим на $\pi$ и выпишем целые значения параметра.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$:

$$3+\dfrac{1}{4}\le 2n\le \dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 3{,}25\le 2n\le 4{,}75\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}625\le n\le 2{,}375$$

Подходит $n=2$: $x=-\dfrac{\pi}{4}+4\pi=\dfrac{-\pi+16\pi}{4}=\dfrac{15\pi}{4}$.

Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$:

$$3+\dfrac{3}{4}\le 2n\le \dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 3{,}75\le 2n\le 5{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}875\le n\le 2{,}625$$

Подходит $n=2$: $x=-\dfrac{3\pi}{4}+4\pi=\dfrac{-3\pi+16\pi}{4}=\dfrac{13\pi}{4}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$:

$$3-\dfrac{1}{3}\le 2n\le \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{8}{3}\le 2n\le \dfrac{25}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{4}{3}\le n\le \dfrac{25}{12}$$

Это примерно $1{,}33\le n\le 2{,}08$, подходит $n=2$: $x=\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi+12\pi}{3}=\dfrac{13\pi}{3}$.

Серия $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$:

$$3-\dfrac{2}{3}\le 2n\le \dfrac{9}{2}-\dfrac{2}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{7}{3}\le 2n\le \dfrac{23}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{7}{6}\le n\le \dfrac{23}{12}$$

Это примерно $1{,}17\le n\le 1{,}92$ — целых нет, серия пустая.

Проверим себя: $\dfrac{13\pi}{4}=3{,}25\pi$, $\dfrac{15\pi}{4}=3{,}75\pi$, $\dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi$ — все три между $3\pi$ и $4{,}5\pi$.