Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 плюс 2 косинус левая круглая скобка пи…

Пункт а. Уравнение выглядит громоздко из-за корней, но половина работы — это просто аккуратно упростить записи. Начнём с корней: \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} и \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}.

Дальше уберём непривычный аргумент. Вычитание из \pi отражает точку окружности относительно вертикальной оси, поэтому косинус меняет знак: \cos(\pi-2x)=-\cos 2x. Перенесём всё влево:

2-2\cos 2x+2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=0

Теперь взглянем на первые два слагаемых. Косинус двойного угла в записи через синус — это \cos 2x=1-2\sin^{2}x, поэтому

2-2\cos 2x=2-2\left(1-2\sin^{2}x\right)=2-2+4\sin^{2}x=4\sin^{2}x

Уравнение стало заметно приятнее:

4\sin^{2}x+2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=0

Четыре слагаемых — верный признак того, что поможет группировка. Разобьём их на две пары. В первой вынесем 2\sin x:

4\sin^{2}x+2\sqrt{2}\sin x=2\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)

Во второй вынесем -\sqrt{3}; проверим, что это работает: -\sqrt{3}\cdot 2\sin x=-2\sqrt{3}\sin x — верно, и -\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=-\sqrt{6} — тоже верно. Значит

-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=-\sqrt{3}\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)

Скобки совпали, выносим их:

\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0

Первый множитель даёт \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} — это две точки нижней половины окружности:

x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй даёт \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} — две точки верхней половины:

x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Серий четыре, отрезок \left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right] далеко от нуля — тут спасает только аккуратность. Каждую серию подставим в двойное неравенство, поделим на \pi и выпишем целые значения параметра.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n:

3+\dfrac{1}{4}\le 2n\le \dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 3{,}25\le 2n\le 4{,}75\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}625\le n\le 2{,}375

Подходит n=2: x=-\dfrac{\pi}{4}+4\pi=\dfrac{-\pi+16\pi}{4}=\dfrac{15\pi}{4}.

Серия x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n:

3+\dfrac{3}{4}\le 2n\le \dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 3{,}75\le 2n\le 5{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}875\le n\le 2{,}625

Подходит n=2: x=-\dfrac{3\pi}{4}+4\pi=\dfrac{-3\pi+16\pi}{4}=\dfrac{13\pi}{4}.

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n:

3-\dfrac{1}{3}\le 2n\le \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{8}{3}\le 2n\le \dfrac{25}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{4}{3}\le n\le \dfrac{25}{12}

Это примерно 1{,}33\le n\le 2{,}08, подходит n=2: x=\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi+12\pi}{3}=\dfrac{13\pi}{3}.

Серия x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n:

3-\dfrac{2}{3}\le 2n\le \dfrac{9}{2}-\dfrac{2}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{7}{3}\le 2n\le \dfrac{23}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{7}{6}\le n\le \dfrac{23}{12}

Это примерно 1{,}17\le n\le 1{,}92 — целых нет, серия пустая.

Проверим себя: \dfrac{13\pi}{4}=3{,}25\pi, \dfrac{15\pi}{4}=3{,}75\pi, \dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi — все три между 3\pi и 4{,}5\pi.