Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028739

Пункт а. В уравнении три разных выражения: косинус двойного угла, синус со сдвигом на $\pi$ и просто число. Чтобы можно было что-то вынести за скобку, всё нужно свести к одной функции одного угла.

Сначала уберём сдвиг. Прибавление $\pi$ переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому обе координаты меняют знак, и формула приведения даёт $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Подставим:

$$\cos 2x-\sqrt{2}\cdot(-\sin x)-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \cos 2x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$

Теперь косинус двойного угла. У него есть три равноправные записи; нам нужна та, где стоит синус, потому что синус уже есть во втором слагаемом. Это $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$:

$$1-2\sin^{2}x+\sqrt{2}\sin x-1=0$$

Единица и минус единица уничтожают друг друга:

$$-2\sin^{2}x+\sqrt{2}\sin x=0$$

Вынесем общий множитель $\sin x$:

$$\sin x\left(\sqrt{2}-2\sin x\right)=0$$

Произведение равно нулю, когда в ноль обращается хотя бы один множитель.

Первый: $\sin x=0$. Синус обнуляется в правой и левой точках окружности, а между ними ровно $\pi$, поэтому серия записывается одной формулой:

$$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй: $\sqrt{2}-2\sin x=0$, откуда

$$\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Синус равен $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках верхней половины окружности — на углах $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$:

$$x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Нужны корни из отрезка $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]$. Он в отрицательной области, поэтому надёжнее не рисовать окружность, а подставить каждую серию в двойное неравенство и найти подходящие целые значения параметра.

Серия $x=\pi n$:

$$-\dfrac{7\pi}{2}\le \pi n\le -2\pi\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}5\le n\le -2$$

Подходят $n=-3$ и $n=-2$, то есть $x=-3\pi$ и $x=-2\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$. Делим неравенство на $\pi$ и вычитаем $\dfrac14$:

$$-\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{4}\le 2n\le -2-\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}75\le 2n\le -2{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad -1{,}875\le n\le -1{,}125$$

Между этими числами целых нет — серия на отрезок не попадает.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$:

$$-\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{4}\le 2n\le -2-\dfrac{3}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}25\le 2n\le -2{,}75\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}125\le n\le -1{,}375$$

Здесь целое одно — $n=-2$:

$$x=\dfrac{3\pi}{4}-4\pi=\dfrac{3\pi-16\pi}{4}=-\dfrac{13\pi}{4}$$

Расставим корни по возрастанию: $-\dfrac{13\pi}{4}=-3{,}25\pi$, затем $-3\pi$, затем $-2\pi$. Все три лежат между $-3{,}5\pi$ и $-2\pi$ — сходится.