Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение косинус 2x минус корень из: начало…

Пункт а. В уравнении три разных выражения: косинус двойного угла, синус со сдвигом на \pi и просто число. Чтобы можно было что-то вынести за скобку, всё нужно свести к одной функции одного угла.

Сначала уберём сдвиг. Прибавление \pi переводит точку окружности в диаметрально противоположную, поэтому обе координаты меняют знак, и формула приведения даёт \sin(x+\pi)=-\sin x. Подставим:

\cos 2x-\sqrt{2}\cdot(-\sin x)-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \cos 2x+\sqrt{2}\sin x-1=0

Теперь косинус двойного угла. У него есть три равноправные записи; нам нужна та, где стоит синус, потому что синус уже есть во втором слагаемом. Это \cos 2x=1-2\sin^{2}x:

1-2\sin^{2}x+\sqrt{2}\sin x-1=0

Единица и минус единица уничтожают друг друга:

-2\sin^{2}x+\sqrt{2}\sin x=0

Вынесем общий множитель \sin x:

\sin x\left(\sqrt{2}-2\sin x\right)=0

Произведение равно нулю, когда в ноль обращается хотя бы один множитель.

Первый: \sin x=0. Синус обнуляется в правой и левой точках окружности, а между ними ровно \pi, поэтому серия записывается одной формулой:

x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй: \sqrt{2}-2\sin x=0, откуда

\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Синус равен \dfrac{\sqrt{2}}{2} в двух точках верхней половины окружности — на углах \dfrac{\pi}{4} и \dfrac{3\pi}{4}:

x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Нужны корни из отрезка \left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]. Он в отрицательной области, поэтому надёжнее не рисовать окружность, а подставить каждую серию в двойное неравенство и найти подходящие целые значения параметра.

Серия x=\pi n:

-\dfrac{7\pi}{2}\le \pi n\le -2\pi\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}5\le n\le -2

Подходят n=-3 и n=-2, то есть x=-3\pi и x=-2\pi.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n. Делим неравенство на \pi и вычитаем \dfrac14:

-\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{4}\le 2n\le -2-\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}75\le 2n\le -2{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad -1{,}875\le n\le -1{,}125

Между этими числами целых нет — серия на отрезок не попадает.

Серия x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n:

-\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{4}\le 2n\le -2-\dfrac{3}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}25\le 2n\le -2{,}75\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}125\le n\le -1{,}375

Здесь целое одно — n=-2:

x=\dfrac{3\pi}{4}-4\pi=\dfrac{3\pi-16\pi}{4}=-\dfrac{13\pi}{4}

Расставим корни по возрастанию: -\dfrac{13\pi}{4}=-3{,}25\pi, затем -3\pi, затем -2\pi. Все три лежат между -3{,}5\pi и -2\pi — сходится.