Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате…

Пункт а. Здесь тригонометрия почти не мешает: во всех слагаемых стоит одна и та же функция — косинус, просто в разных степенях. Значит, это по сути обычное кубическое уравнение, только вместо переменной у нас \cos x.

Чтобы это было видно яснее, обозначим t=\cos x. Уравнение принимает вид

2t^{3}-t^{2}+2t-1=0

Кубическое уравнение решают разложением на множители, а самый ходовой приём разложения — группировка: разбиваем четыре слагаемых на две пары и в каждой выносим общий множитель. Возьмём первые два и последние два:

\left(2t^{3}-t^{2}\right)+\left(2t-1\right)=t^{2}\left(2t-1\right)+\left(2t-1\right)

В обеих частях появилась одинаковая скобка \left(2t-1\right) — выносим её:

\left(2t-1\right)\left(t^{2}+1\right)=0

Разберём множители. Второй множитель t^{2}+1 в ноль обратиться не может никогда: квадрат любого числа неотрицателен, значит t^{2}+1\ge 1. Поэтому остаётся только первый:

2t-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{1}{2}

Возвращаемся к переменной x:

\cos x=\dfrac{1}{2}

Косинус равен \dfrac{1}{2} в двух точках окружности, симметричных относительно горизонтальной оси, — на углах \dfrac{\pi}{3} и -\dfrac{\pi}{3}; дальше всё повторяется через полный оборот:

x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отбираем корни, попавшие на отрезок \left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]. Воспользуемся числовой окружностью. Левый конец 2\pi — это полный оборот, то есть та же правая точка окружности, что и ноль. Правый конец лежит на \dfrac{7\pi}{2}-2\pi=\dfrac{3\pi}{2} дальше, то есть на три четверти оборота вперёд — это нижняя точка. Итак, рабочая дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю и левую до нижней; в привычных углах это все значения от 0 до \dfrac{3\pi}{2}, к которым надо прибавить 2\pi.

Где на окружности косинус равен \dfrac{1}{2}? В точках \dfrac{\pi}{3} и \dfrac{5\pi}{3} (вторая — это то же самое, что -\dfrac{\pi}{3}, только записанное через положительный угол).

Точка \dfrac{\pi}{3} лежит на нашей дуге, ведь \dfrac{\pi}{3}\lt\dfrac{3\pi}{2}. Прибавляем 2\pi:

x=2\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{6\pi+\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}

Точка \dfrac{5\pi}{3} на дугу не попадает: \dfrac{5\pi}{3}\approx 1{,}67\pi, а дуга заканчивается на 1{,}5\pi — эта точка уже за краем.

Значит, на отрезке лежит единственный корень. Проверим себя: \dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi, а отрезок тянется от 2\pi до 3{,}5\pi — число внутри.