Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028738

Пункт а. Здесь тригонометрия почти не мешает: во всех слагаемых стоит одна и та же функция — косинус, просто в разных степенях. Значит, это по сути обычное кубическое уравнение, только вместо переменной у нас $\cos x$.

Чтобы это было видно яснее, обозначим $t=\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2t^{3}-t^{2}+2t-1=0$$

Кубическое уравнение решают разложением на множители, а самый ходовой приём разложения — группировка: разбиваем четыре слагаемых на две пары и в каждой выносим общий множитель. Возьмём первые два и последние два:

$$\left(2t^{3}-t^{2}\right)+\left(2t-1\right)=t^{2}\left(2t-1\right)+\left(2t-1\right)$$

В обеих частях появилась одинаковая скобка $\left(2t-1\right)$ — выносим её:

$$\left(2t-1\right)\left(t^{2}+1\right)=0$$

Разберём множители. Второй множитель $t^{2}+1$ в ноль обратиться не может никогда: квадрат любого числа неотрицателен, значит $t^{2}+1\ge 1$. Поэтому остаётся только первый:

$$2t-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{1}{2}$$

Возвращаемся к переменной $x$:

$$\cos x=\dfrac{1}{2}$$

Косинус равен $\dfrac{1}{2}$ в двух точках окружности, симметричных относительно горизонтальной оси, — на углах $\dfrac{\pi}{3}$ и $-\dfrac{\pi}{3}$; дальше всё повторяется через полный оборот:

$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отбираем корни, попавшие на отрезок $\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]$. Воспользуемся числовой окружностью. Левый конец $2\pi$ — это полный оборот, то есть та же правая точка окружности, что и ноль. Правый конец лежит на $\dfrac{7\pi}{2}-2\pi=\dfrac{3\pi}{2}$ дальше, то есть на три четверти оборота вперёд — это нижняя точка. Итак, рабочая дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю и левую до нижней; в привычных углах это все значения от $0$ до $\dfrac{3\pi}{2}$, к которым надо прибавить $2\pi$.

Где на окружности косинус равен $\dfrac{1}{2}$? В точках $\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{5\pi}{3}$ (вторая — это то же самое, что $-\dfrac{\pi}{3}$, только записанное через положительный угол).

Точка $\dfrac{\pi}{3}$ лежит на нашей дуге, ведь $\dfrac{\pi}{3}\lt\dfrac{3\pi}{2}$. Прибавляем $2\pi$:

$$x=2\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{6\pi+\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}$$

Точка $\dfrac{5\pi}{3}$ на дугу не попадает: $\dfrac{5\pi}{3}\approx 1{,}67\pi$, а дуга заканчивается на $1{,}5\pi$ — эта точка уже за краем.

Значит, на отрезке лежит единственный корень. Проверим себя: $\dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi$, а отрезок тянется от $2\pi$ до $3{,}5\pi$ — число внутри.