Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028737

Пункт а. В уравнении есть синус суммы с двойным углом внутри. Раскроем его — тогда часть слагаемых окажется и слева, и справа и просто исчезнет.

Формула синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$. Берём $\alpha=2x$, $\beta=\dfrac{\pi}{6}$ и подставляем табличные значения $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$:

$$2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$

Уравнение превращается в

$$\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1$$

Одинаковое слагаемое $\sqrt{3}\sin 2x$ уходит из обеих частей:

$$\sin x+\cos 2x-1=0$$

Осталось выразить косинус двойного угла через синус, ведь первое слагаемое — синус. Нужная формула: $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$. Подставляем:

$$\sin x+1-2\sin^{2}x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin x-2\sin^{2}x=0$$

Единицы сократились. Выносим $\sin x$ за скобку:

$$\sin x\left(1-2\sin x\right)=0$$

Первый множитель: $\sin x=0$. Синус равен нулю в правой и левой точках окружности, между которыми ровно $\pi$, поэтому

$$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй множитель: $1-2\sin x=0$, то есть $\sin x=\dfrac{1}{2}$, и это две точки:

$$x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Нужны корни, попавшие на отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]$. Чтобы не запутаться, переведём границы в «доли $\pi$»: слева $-3{,}5\pi$, справа $-2\pi$. Дальше в каждой серии будем подставлять целые значения параметра, соседние с нужной областью, и смотреть, попал корень в этот промежуток или нет.

Серия $x=\pi n$. При $n=-2$ выходит $-2\pi$ — это правый конец отрезка, а концы входят, значит корень подходит. При $n=-3$ выходит $-3\pi$, и $-3{,}5\pi\lt -3\pi\lt -2\pi$ — тоже подходит. При $n=-4$ будет $-4\pi$, это уже левее отрезка.

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$. При $n=-1$: $\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{11\pi}{6}\approx -1{,}83\pi$ — правее отрезка. При $n=-2$: $\dfrac{\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{23\pi}{6}\approx -3{,}83\pi$ — уже левее. Между ними ничего нет, серия пустая.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. При $n=-1$: $\dfrac{5\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{6}\approx -1{,}17\pi$ — правее отрезка. При $n=-2$:

$$x=\dfrac{5\pi}{6}-4\pi=\dfrac{5\pi-24\pi}{6}=-\dfrac{19\pi}{6}\approx -3{,}17\pi$$

А вот это число как раз между $-3{,}5\pi$ и $-2\pi$ — корень подходит. При $n=-3$ получится ещё на $2\pi$ меньше, то есть далеко влево.

Расставим найденное по возрастанию: $-\dfrac{19\pi}{6}$, затем $-3\pi$, затем $-2\pi$.