Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение синус x плюс 2 синус левая круглая скобка 2x…

Пункт а. В уравнении есть синус суммы с двойным углом внутри. Раскроем его — тогда часть слагаемых окажется и слева, и справа и просто исчезнет.

Формула синуса суммы: \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. Берём \alpha=2x, \beta=\dfrac{\pi}{6} и подставляем табличные значения \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}:

2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x

Уравнение превращается в

\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1

Одинаковое слагаемое \sqrt{3}\sin 2x уходит из обеих частей:

\sin x+\cos 2x-1=0

Осталось выразить косинус двойного угла через синус, ведь первое слагаемое — синус. Нужная формула: \cos 2x=1-2\sin^{2}x. Подставляем:

\sin x+1-2\sin^{2}x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin x-2\sin^{2}x=0

Единицы сократились. Выносим \sin x за скобку:

\sin x\left(1-2\sin x\right)=0

Первый множитель: \sin x=0. Синус равен нулю в правой и левой точках окружности, между которыми ровно \pi, поэтому

x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй множитель: 1-2\sin x=0, то есть \sin x=\dfrac{1}{2}, и это две точки:

x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Нужны корни, попавшие на отрезок \left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]. Чтобы не запутаться, переведём границы в «доли \pi»: слева -3{,}5\pi, справа -2\pi. Дальше в каждой серии будем подставлять целые значения параметра, соседние с нужной областью, и смотреть, попал корень в этот промежуток или нет.

Серия x=\pi n. При n=-2 выходит -2\pi — это правый конец отрезка, а концы входят, значит корень подходит. При n=-3 выходит -3\pi, и -3{,}5\pi\lt -3\pi\lt -2\pi — тоже подходит. При n=-4 будет -4\pi, это уже левее отрезка.

Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n. При n=-1: \dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{11\pi}{6}\approx -1{,}83\pi — правее отрезка. При n=-2: \dfrac{\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{23\pi}{6}\approx -3{,}83\pi — уже левее. Между ними ничего нет, серия пустая.

Серия x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n. При n=-1: \dfrac{5\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{6}\approx -1{,}17\pi — правее отрезка. При n=-2:

x=\dfrac{5\pi}{6}-4\pi=\dfrac{5\pi-24\pi}{6}=-\dfrac{19\pi}{6}\approx -3{,}17\pi

А вот это число как раз между -3{,}5\pi и -2\pi — корень подходит. При n=-3 получится ещё на 2\pi меньше, то есть далеко влево.

Расставим найденное по возрастанию: -\dfrac{19\pi}{6}, затем -3\pi, затем -2\pi.