Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028736

Пункт а. Уравнение длинное, но пугаться не надо: сначала уберём непривычные аргументы, а потом сгруппируем слагаемые по парам — здесь всё разложится на множители.

Начнём с $\sin(2\pi-x)$. Вычитание из полного оборота отражает точку относительно горизонтальной оси, поэтому по формуле приведения $\sin(2\pi-x)=-\sin x$. Ещё раскроем синус двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Перенесём заодно правую часть влево:

$$2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0$$

Теперь приглядимся. В первых двух слагаемых общий множитель — $\sin x$:

$$2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x=\sin x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)$$

В двух последних вынесем $\sqrt{3}\cos x$. Проверим, что получится: $\sqrt{3}\cos x\cdot 2\sin x=2\sqrt{3}\sin x\cos x$ — верно; $\sqrt{3}\cos x\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{6}\cos x$ — тоже верно, ведь $\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}$. Значит

$$2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=\sqrt{3}\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)$$

В обеих парах вылезла одинаковая скобка $\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)$ — вот ради этого мы и группировали. Выносим её:

$$\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)=0$$

Первый множитель даёт $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, а это две точки верхней половины окружности:

$$x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй множитель даёт $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$. Такое уравнение называют однородным: в каждом слагаемом ровно одна тригонометрическая функция первой степени. Его решают делением на косинус, но сначала убедимся, что делить можно: если бы $\cos x=0$, то из уравнения получилось бы и $\sin x=0$, а вместе синус и косинус в ноль не обращаются никогда. Значит $\cos x\ne 0$, и делить законно:

$$\dfrac{\sin x}{\cos x}+\sqrt{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tg}x=-\sqrt{3}$$

Тангенс повторяется через $\pi$, поэтому серия одна:

$$x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отрезок $\left[-\pi;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ короткий и лежит вокруг нуля, поэтому здесь удобно рассуждать прямо по числовой окружности: это дуга от левой точки, вниз через нижнюю, направо и вверх до верхней точки — то есть нижняя половина окружности плюс четверть первого квадранта.

Проверим каждую серию, подставляя маленькие целые значения параметра.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: при $n=0$ получаем $x=\dfrac{\pi}{4}$, и это меньше $\dfrac{\pi}{2}$ — корень подходит. Соседние значения уходят далеко: при $n=1$ будет $\dfrac{9\pi}{4}$, при $n=-1$ будет $-\dfrac{7\pi}{4}$ — оба вне отрезка.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$: при $n=0$ получаем $\dfrac{3\pi}{4}$, а это больше $\dfrac{\pi}{2}$ — не годится. При $n=-1$ выходит $\dfrac{3\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{4}$, что меньше $-\pi$ — тоже мимо. Серия ничего не даёт.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: при $n=0$ получаем $x=-\dfrac{\pi}{3}$, и это между $-\pi$ и $\dfrac{\pi}{2}$ — подходит. При $n=1$ будет $-\dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{2\pi}{3}$, что больше $\dfrac{\pi}{2}$; при $n=-1$ будет $-\dfrac{4\pi}{3}$, что меньше $-\pi$. Больше ничего.

Итого на отрезок попали два корня, по возрастанию это $-\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{\pi}{4}$.