Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус в квадрате x плюс корень из: начало…

Пункт а. Уравнение длинное, но пугаться не надо: сначала уберём непривычные аргументы, а потом сгруппируем слагаемые по парам — здесь всё разложится на множители.

Начнём с \sin(2\pi-x). Вычитание из полного оборота отражает точку относительно горизонтальной оси, поэтому по формуле приведения \sin(2\pi-x)=-\sin x. Ещё раскроем синус двойного угла: \sin 2x=2\sin x\cos x. Перенесём заодно правую часть влево:

2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0

Теперь приглядимся. В первых двух слагаемых общий множитель — \sin x:

2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x=\sin x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)

В двух последних вынесем \sqrt{3}\cos x. Проверим, что получится: \sqrt{3}\cos x\cdot 2\sin x=2\sqrt{3}\sin x\cos x — верно; \sqrt{3}\cos x\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{6}\cos x — тоже верно, ведь \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}. Значит

2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=\sqrt{3}\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)

В обеих парах вылезла одинаковая скобка \left(2\sin x-\sqrt{2}\right) — вот ради этого мы и группировали. Выносим её:

\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)=0

Первый множитель даёт \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, а это две точки верхней половины окружности:

x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй множитель даёт \sin x+\sqrt{3}\cos x=0. Такое уравнение называют однородным: в каждом слагаемом ровно одна тригонометрическая функция первой степени. Его решают делением на косинус, но сначала убедимся, что делить можно: если бы \cos x=0, то из уравнения получилось бы и \sin x=0, а вместе синус и косинус в ноль не обращаются никогда. Значит \cos x\ne 0, и делить законно:

\dfrac{\sin x}{\cos x}+\sqrt{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tg}x=-\sqrt{3}

Тангенс повторяется через \pi, поэтому серия одна:

x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отрезок \left[-\pi;\,\dfrac{\pi}{2}\right] короткий и лежит вокруг нуля, поэтому здесь удобно рассуждать прямо по числовой окружности: это дуга от левой точки, вниз через нижнюю, направо и вверх до верхней точки — то есть нижняя половина окружности плюс четверть первого квадранта.

Проверим каждую серию, подставляя маленькие целые значения параметра.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: при n=0 получаем x=\dfrac{\pi}{4}, и это меньше \dfrac{\pi}{2} — корень подходит. Соседние значения уходят далеко: при n=1 будет \dfrac{9\pi}{4}, при n=-1 будет -\dfrac{7\pi}{4} — оба вне отрезка.

Серия x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n: при n=0 получаем \dfrac{3\pi}{4}, а это больше \dfrac{\pi}{2} — не годится. При n=-1 выходит \dfrac{3\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{4}, что меньше -\pi — тоже мимо. Серия ничего не даёт.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n: при n=0 получаем x=-\dfrac{\pi}{3}, и это между -\pi и \dfrac{\pi}{2} — подходит. При n=1 будет -\dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{2\pi}{3}, что больше \dfrac{\pi}{2}; при n=-1 будет -\dfrac{4\pi}{3}, что меньше -\pi. Больше ничего.

Итого на отрезок попали два корня, по возрастанию это -\dfrac{\pi}{3} и \dfrac{\pi}{4}.