Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус левая круглая скобка 2x плюс дробь:…

Пункт а. Слева стоит синус суммы, где первое слагаемое — не x, а 2x. Это не страшно: формула синуса суммы работает с любыми выражениями, и после её применения появится \sin 2x, который сократится с правой частью.

По формуле \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta при \alpha=2x, \beta=\dfrac{\pi}{6}, где \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} и \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}:

2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x

Подставляем в уравнение:

\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1

Слагаемое \sqrt{3}\sin 2x стоит с обеих сторон — вычёркиваем его и переносим всё влево:

\cos 2x-\cos x+1=0

Остался один «двойной» угол. У косинуса двойного угла возьмём ту запись, где стоит косинус, ведь второе слагаемое — тоже косинус: \cos 2x=2\cos^{2}x-1:

2\cos^{2}x-1-\cos x+1=0

Минус единица и плюс единица гасят друг друга:

2\cos^{2}x-\cos x=0

Выносим \cos x за скобку:

\cos x\left(2\cos x-1\right)=0

Первое простейшее уравнение \cos x=0 отвечает верхней и нижней точкам окружности, расстояние между ними \pi:

x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второе: 2\cos x-1=0, то есть \cos x=\dfrac{1}{2}, откуда

x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Теперь надо выбрать корни из отрезка \left[\dfrac{5\pi}{2};\,4\pi\right]. Он расположен на втором обороте, поэтому будем действовать формально: подставим каждую серию в двойное неравенство и найдём подходящие целые значения параметра.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n:

\dfrac{5}{2}\le \dfrac{1}{2}+n\le 4\quad\Longleftrightarrow\quad 2\le n\le 3{,}5

Подходят n=2 и n=3:

x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{5\pi}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{2}+3\pi=\dfrac{7\pi}{2}

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n:

\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{3}\le 2n\le 4-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{6}\le 2n\le \dfrac{11}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\le n\le \dfrac{11}{6}

Это примерно 1{,}08\le n\le 1{,}83 — целых нет, серия ничего не даёт.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n:

\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{3}\le 2n\le 4+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{6}\le 2n\le \dfrac{13}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\le n\le \dfrac{13}{6}

Здесь примерно 1{,}42\le n\le 2{,}17, подходит n=2:

x=-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{-\pi+12\pi}{3}=\dfrac{11\pi}{3}

Проверим себя: \dfrac{5\pi}{2}=2{,}5\pi, \dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi, \dfrac{11\pi}{3}\approx 3{,}67\pi — все три лежат между 2{,}5\pi и 4\pi.