Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028735

Пункт а. Слева стоит синус суммы, где первое слагаемое — не $x$, а $2x$. Это не страшно: формула синуса суммы работает с любыми выражениями, и после её применения появится $\sin 2x$, который сократится с правой частью.

По формуле $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ при $\alpha=2x$, $\beta=\dfrac{\pi}{6}$, где $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$:

$$2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$

Подставляем в уравнение:

$$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

Слагаемое $\sqrt{3}\sin 2x$ стоит с обеих сторон — вычёркиваем его и переносим всё влево:

$$\cos 2x-\cos x+1=0$$

Остался один «двойной» угол. У косинуса двойного угла возьмём ту запись, где стоит косинус, ведь второе слагаемое — тоже косинус: $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$:

$$2\cos^{2}x-1-\cos x+1=0$$

Минус единица и плюс единица гасят друг друга:

$$2\cos^{2}x-\cos x=0$$

Выносим $\cos x$ за скобку:

$$\cos x\left(2\cos x-1\right)=0$$

Первое простейшее уравнение $\cos x=0$ отвечает верхней и нижней точкам окружности, расстояние между ними $\pi$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второе: $2\cos x-1=0$, то есть $\cos x=\dfrac{1}{2}$, откуда

$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Теперь надо выбрать корни из отрезка $\left[\dfrac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$. Он расположен на втором обороте, поэтому будем действовать формально: подставим каждую серию в двойное неравенство и найдём подходящие целые значения параметра.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$:

$$\dfrac{5}{2}\le \dfrac{1}{2}+n\le 4\quad\Longleftrightarrow\quad 2\le n\le 3{,}5$$

Подходят $n=2$ и $n=3$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{5\pi}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{2}+3\pi=\dfrac{7\pi}{2}$$

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$:

$$\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{3}\le 2n\le 4-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{6}\le 2n\le \dfrac{11}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\le n\le \dfrac{11}{6}$$

Это примерно $1{,}08\le n\le 1{,}83$ — целых нет, серия ничего не даёт.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$:

$$\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{3}\le 2n\le 4+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{6}\le 2n\le \dfrac{13}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\le n\le \dfrac{13}{6}$$

Здесь примерно $1{,}42\le n\le 2{,}17$, подходит $n=2$:

$$x=-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{-\pi+12\pi}{3}=\dfrac{11\pi}{3}$$

Проверим себя: $\dfrac{5\pi}{2}=2{,}5\pi$, $\dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi$, $\dfrac{11\pi}{3}\approx 3{,}67\pi$ — все три лежат между $2{,}5\pi$ и $4\pi$.