Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 косинус x минус корень из: начало…

Пункт а. Здесь есть кубы косинуса — значит, никакой замены «в лоб» не выйдет, надо разложить выражение на множители. Соберём косинусы в одну сторону:

2\cos x-2\cos^{3}x=\sqrt{3}\sin^{2}x

Слева выносим общий множитель 2\cos x:

2\cos x\left(1-\cos^{2}x\right)=\sqrt{3}\sin^{2}x

А вот и ключевой момент: по основному тригонометрическому тождеству 1-\cos^{2}x=\sin^{2}x. Значит слева тоже появляется квадрат синуса:

2\cos x\sin^{2}x=\sqrt{3}\sin^{2}x

Переносим всё влево и выносим \sin^{2}x:

\sin^{2}x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0

Важно: делить обе части на \sin^{2}x нельзя — синус вполне может обратиться в ноль, и тогда мы потеряли бы целую серию корней. Поэтому именно раскладываем на множители.

Первый множитель: \sin^{2}x=0. Квадрат равен нулю только когда равно нулю само число, поэтому \sin x=0, а это

x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второй множитель: 2\cos x-\sqrt{3}=0, то есть

\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Косинус равен \dfrac{\sqrt{3}}{2} в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси:

x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отбираем корни, лежащие на отрезке \left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]. Возьмём каждую серию, подставим её общую формулу в двойное неравенство и посмотрим, какие целые значения параметра выживут.

Серия x=\pi n:

-\dfrac{7\pi}{2}\le \pi n\le -2\pi\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}5\le n\le -2

Годятся n=-3 и n=-2: x=-3\pi и x=-2\pi.

Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n:

-\dfrac{7}{2}\le \dfrac{1}{6}+2n\le -2\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{6}\le 2n\le -2-\dfrac{1}{6}

-\dfrac{11}{3}\le 2n\le -\dfrac{13}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{11}{6}\le n\le -\dfrac{13}{12}

Это примерно -1{,}83\le n\le -1{,}08 — целых чисел здесь нет, серия пустая.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n:

-\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{6}\le 2n\le -2+\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{10}{3}\le 2n\le -\dfrac{11}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{3}\le n\le -\dfrac{11}{12}

Здесь примерно -1{,}67\le n\le -0{,}92, подходит n=-1:

x=-\dfrac{\pi}{6}-2\pi=\dfrac{-\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{13\pi}{6}

Выстроим корни по возрастанию: -3\pi, потом -\dfrac{13\pi}{6}\approx -2{,}17\pi, потом -2\pi — все лежат между -3{,}5\pi и -2\pi.