Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028734

Пункт а. Здесь есть кубы косинуса — значит, никакой замены «в лоб» не выйдет, надо разложить выражение на множители. Соберём косинусы в одну сторону:

$$2\cos x-2\cos^{3}x=\sqrt{3}\sin^{2}x$$

Слева выносим общий множитель $2\cos x$:

$$2\cos x\left(1-\cos^{2}x\right)=\sqrt{3}\sin^{2}x$$

А вот и ключевой момент: по основному тригонометрическому тождеству $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$. Значит слева тоже появляется квадрат синуса:

$$2\cos x\sin^{2}x=\sqrt{3}\sin^{2}x$$

Переносим всё влево и выносим $\sin^{2}x$:

$$\sin^{2}x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$$

Важно: делить обе части на $\sin^{2}x$ нельзя — синус вполне может обратиться в ноль, и тогда мы потеряли бы целую серию корней. Поэтому именно раскладываем на множители.

Первый множитель: $\sin^{2}x=0$. Квадрат равен нулю только когда равно нулю само число, поэтому $\sin x=0$, а это

$$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второй множитель: $2\cos x-\sqrt{3}=0$, то есть

$$\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Косинус равен $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси:

$$x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отбираем корни, лежащие на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]$. Возьмём каждую серию, подставим её общую формулу в двойное неравенство и посмотрим, какие целые значения параметра выживут.

Серия $x=\pi n$:

$$-\dfrac{7\pi}{2}\le \pi n\le -2\pi\quad\Longleftrightarrow\quad -3{,}5\le n\le -2$$

Годятся $n=-3$ и $n=-2$: $x=-3\pi$ и $x=-2\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$:

$$-\dfrac{7}{2}\le \dfrac{1}{6}+2n\le -2\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{6}\le 2n\le -2-\dfrac{1}{6}$$

$$-\dfrac{11}{3}\le 2n\le -\dfrac{13}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{11}{6}\le n\le -\dfrac{13}{12}$$

Это примерно $-1{,}83\le n\le -1{,}08$ — целых чисел здесь нет, серия пустая.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$:

$$-\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{6}\le 2n\le -2+\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{10}{3}\le 2n\le -\dfrac{11}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{3}\le n\le -\dfrac{11}{12}$$

Здесь примерно $-1{,}67\le n\le -0{,}92$, подходит $n=-1$:

$$x=-\dfrac{\pi}{6}-2\pi=\dfrac{-\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{13\pi}{6}$$

Выстроим корни по возрастанию: $-3\pi$, потом $-\dfrac{13\pi}{6}\approx -2{,}17\pi$, потом $-2\pi$ — все лежат между $-3{,}5\pi$ и $-2\pi$.