Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус левая круглая скобка x плюс дробь:…

Пункт а. В уравнении намешаны три разных «зверя»: синус суммы, косинус двойного угла и обычный косинус. Приведём всё к одному углу x — тогда станет видно, что лишнее уйдёт само.

Раскроем синус суммы по формуле \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, взяв \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} и \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:

2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{1}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x

Подставим это в уравнение:

\sin x+\sqrt{3}\cos x+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1

Слагаемое \sqrt{3}\cos x встречается по обе стороны знака равенства — вычёркиваем его:

\sin x+\cos 2x-1=0

Теперь разберёмся с \cos 2x. У косинуса двойного угла есть три записи; нам нужна та, где стоит синус, ведь первое слагаемое — синус. Это \cos 2x=1-2\sin^{2}x:

\sin x+1-2\sin^{2}x-1=0

Единицы гасят друг друга:

\sin x-2\sin^{2}x=0

Выносим общий множитель \sin x:

\sin x\left(1-2\sin x\right)=0

Первое простейшее уравнение — \sin x=0. Синус обнуляется в правой и левой точках окружности, между ними ровно \pi:

x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второе — 1-2\sin x=0, то есть \sin x=\dfrac{1}{2}. Такое значение синус принимает в двух точках верхней половины окружности:

x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Нужны корни из отрезка \left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]. Отрезок в отрицательной области, поэтому рисовать окружность рискованно — легко сбиться со счётом оборотов. Надёжнее подставить каждую серию в двойное неравенство и перебрать целые значения параметра.

Серия x=\pi n:

-3\pi\le \pi n\le -\dfrac{3\pi}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -3\le n\le -1{,}5

Целые здесь n=-3 и n=-2, значит x=-3\pi и x=-2\pi.

Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n:

-3\le \dfrac{1}{6}+2n\le -\dfrac{3}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -3-\dfrac{1}{6}\le 2n\le -\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6}

-\dfrac{19}{6}\le 2n\le -\dfrac{5}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{19}{12}\le n\le -\dfrac{5}{6}

Это примерно -1{,}58\le n\le -0{,}83, подходит n=-1:

x=\dfrac{\pi}{6}-2\pi=\dfrac{\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{11\pi}{6}

Серия x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n:

-3-\dfrac{5}{6}\le 2n\le -\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{23}{6}\le 2n\le -\dfrac{7}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{23}{12}\le n\le -\dfrac{7}{6}

Между -1{,}92 и -1{,}17 целых чисел нет — эта серия на отрезок не попадает.

Расположим найденное по возрастанию: -3\pi, затем -2\pi, затем -\dfrac{11\pi}{6}\approx -1{,}83\pi. Все три числа не меньше -3\pi и не больше -1{,}5\pi — сходится.