Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028733

Пункт а. В уравнении намешаны три разных «зверя»: синус суммы, косинус двойного угла и обычный косинус. Приведём всё к одному углу $x$ — тогда станет видно, что лишнее уйдёт само.

Раскроем синус суммы по формуле $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$, взяв $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ и $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{1}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1$$

Слагаемое $\sqrt{3}\cos x$ встречается по обе стороны знака равенства — вычёркиваем его:

$$\sin x+\cos 2x-1=0$$

Теперь разберёмся с $\cos 2x$. У косинуса двойного угла есть три записи; нам нужна та, где стоит синус, ведь первое слагаемое — синус. Это $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$:

$$\sin x+1-2\sin^{2}x-1=0$$

Единицы гасят друг друга:

$$\sin x-2\sin^{2}x=0$$

Выносим общий множитель $\sin x$:

$$\sin x\left(1-2\sin x\right)=0$$

Первое простейшее уравнение — $\sin x=0$. Синус обнуляется в правой и левой точках окружности, между ними ровно $\pi$:

$$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второе — $1-2\sin x=0$, то есть $\sin x=\dfrac{1}{2}$. Такое значение синус принимает в двух точках верхней половины окружности:

$$x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Нужны корни из отрезка $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$. Отрезок в отрицательной области, поэтому рисовать окружность рискованно — легко сбиться со счётом оборотов. Надёжнее подставить каждую серию в двойное неравенство и перебрать целые значения параметра.

Серия $x=\pi n$:

$$-3\pi\le \pi n\le -\dfrac{3\pi}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -3\le n\le -1{,}5$$

Целые здесь $n=-3$ и $n=-2$, значит $x=-3\pi$ и $x=-2\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$:

$$-3\le \dfrac{1}{6}+2n\le -\dfrac{3}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -3-\dfrac{1}{6}\le 2n\le -\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6}$$

$$-\dfrac{19}{6}\le 2n\le -\dfrac{5}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{19}{12}\le n\le -\dfrac{5}{6}$$

Это примерно $-1{,}58\le n\le -0{,}83$, подходит $n=-1$:

$$x=\dfrac{\pi}{6}-2\pi=\dfrac{\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{11\pi}{6}$$

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$:

$$-3-\dfrac{5}{6}\le 2n\le -\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{23}{6}\le 2n\le -\dfrac{7}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{23}{12}\le n\le -\dfrac{7}{6}$$

Между $-1{,}92$ и $-1{,}17$ целых чисел нет — эта серия на отрезок не попадает.

Расположим найденное по возрастанию: $-3\pi$, затем $-2\pi$, затем $-\dfrac{11\pi}{6}\approx -1{,}83\pi$. Все три числа не меньше $-3\pi$ и не больше $-1{,}5\pi$ — сходится.