Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение корень из: начало аргумента: 2 конец…

Пункт а. Первое, что бросается в глаза, — синус суммы \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right). Пока он не раскрыт, уравнение выглядит страшно; раскроем его и увидим, что часть слагаемых уйдёт.

По формуле синуса суммы \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, а \cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Значит

\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x

Здесь мы пользовались тем, что \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{2}=1. Уравнение становится таким:

\sin x+\cos x+2\sin^{2}x=\sin x+2

Слагаемое \sin x стоит и слева, и справа — вычеркнем его и перенесём двойку влево:

\cos x+2\sin^{2}x-2=0

Теперь сведём всё к косинусу. Из основного тригонометрического тождества \sin^{2}x=1-\cos^{2}x:

\cos x+2\left(1-\cos^{2}x\right)-2=0

Раскрываем скобки: 2\cdot 1=2 и 2\cdot(-\cos^{2}x)=-2\cos^{2}x, двойки взаимно уничтожаются:

\cos x-2\cos^{2}x=0

Выносим \cos x за скобку:

\cos x\left(1-2\cos x\right)=0

Первое простейшее уравнение \cos x=0 даёт верхнюю и нижнюю точки окружности, а они повторяются через \pi:

x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второе: 1-2\cos x=0, то есть \cos x=\dfrac{1}{2}. Это две точки, симметричные относительно горизонтальной оси:

x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отберём корни из отрезка \left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right] с помощью числовой окружности. Левый конец 2\pi — это ровно один полный оборот, то есть та же самая правая точка окружности, что и ноль. От неё нужно пройти против часовой стрелки до \dfrac{7\pi}{2}, а это на \dfrac{7\pi}{2}-2\pi=\dfrac{3\pi}{2} дальше — то есть три четверти оборота, до нижней точки. Значит рабочая дуга — от правой точки через верхнюю и левую до нижней; в «обычных» углах это все значения от 0 до \dfrac{3\pi}{2} включительно, к которым потом надо прибавить 2\pi.

Где на этой дуге косинус равен нулю? В верхней точке (\dfrac{\pi}{2}) и в нижней (\dfrac{3\pi}{2}) — обе лежат на дуге. Прибавляем 2\pi:

x=2\pi+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{2},\qquad x=2\pi+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{7\pi}{2}

Где на дуге косинус равен \dfrac{1}{2}? В точках \dfrac{\pi}{3} и \dfrac{5\pi}{3}. Первая лежит на дуге, а вторая нет: \dfrac{5\pi}{3} больше, чем \dfrac{3\pi}{2}, то есть она уже за нижней точкой. Берём только первую и прибавляем 2\pi:

x=2\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{6\pi+\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}

Проверим себя: \dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi, \dfrac{5\pi}{2}=2{,}5\pi, \dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi — все три числа лежат между 2\pi и 3{,}5\pi.