Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028732

Пункт а. Первое, что бросается в глаза, — синус суммы $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$. Пока он не раскрыт, уравнение выглядит страшно; раскроем его и увидим, что часть слагаемых уйдёт.

По формуле синуса суммы $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$, а $\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Значит

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x$$

Здесь мы пользовались тем, что $\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{2}=1$. Уравнение становится таким:

$$\sin x+\cos x+2\sin^{2}x=\sin x+2$$

Слагаемое $\sin x$ стоит и слева, и справа — вычеркнем его и перенесём двойку влево:

$$\cos x+2\sin^{2}x-2=0$$

Теперь сведём всё к косинусу. Из основного тригонометрического тождества $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$:

$$\cos x+2\left(1-\cos^{2}x\right)-2=0$$

Раскрываем скобки: $2\cdot 1=2$ и $2\cdot(-\cos^{2}x)=-2\cos^{2}x$, двойки взаимно уничтожаются:

$$\cos x-2\cos^{2}x=0$$

Выносим $\cos x$ за скобку:

$$\cos x\left(1-2\cos x\right)=0$$

Первое простейшее уравнение $\cos x=0$ даёт верхнюю и нижнюю точки окружности, а они повторяются через $\pi$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второе: $1-2\cos x=0$, то есть $\cos x=\dfrac{1}{2}$. Это две точки, симметричные относительно горизонтальной оси:

$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни из отрезка $\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]$ с помощью числовой окружности. Левый конец $2\pi$ — это ровно один полный оборот, то есть та же самая правая точка окружности, что и ноль. От неё нужно пройти против часовой стрелки до $\dfrac{7\pi}{2}$, а это на $\dfrac{7\pi}{2}-2\pi=\dfrac{3\pi}{2}$ дальше — то есть три четверти оборота, до нижней точки. Значит рабочая дуга — от правой точки через верхнюю и левую до нижней; в «обычных» углах это все значения от $0$ до $\dfrac{3\pi}{2}$ включительно, к которым потом надо прибавить $2\pi$.

Где на этой дуге косинус равен нулю? В верхней точке ($\dfrac{\pi}{2}$) и в нижней ($\dfrac{3\pi}{2}$) — обе лежат на дуге. Прибавляем $2\pi$:

$$x=2\pi+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{2},\qquad x=2\pi+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{7\pi}{2}$$

Где на дуге косинус равен $\dfrac{1}{2}$? В точках $\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{5\pi}{3}$. Первая лежит на дуге, а вторая нет: $\dfrac{5\pi}{3}$ больше, чем $\dfrac{3\pi}{2}$, то есть она уже за нижней точкой. Берём только первую и прибавляем $2\pi$:

$$x=2\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{6\pi+\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}$$

Проверим себя: $\dfrac{7\pi}{3}\approx 2{,}33\pi$, $\dfrac{5\pi}{2}=2{,}5\pi$, $\dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi$ — все три числа лежат между $2\pi$ и $3{,}5\pi$.