Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 синус левая круглая скобка x плюс дробь:…

Пункт а. В левой части спрятан синус суммы — с ним ничего не сделаешь, пока не раскроешь. Раскроем и посмотрим, что сократится.

Формула синуса суммы: \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. Подставим \alpha=x, \beta=\dfrac{\pi}{6} и вспомним табличные значения \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}:

2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x

Уравнение принимает вид:

\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\cos^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}

Вот тут и виден подарок: слагаемое \cos x есть и слева, и справа — оно уходит. Переносим всё влево:

\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}\cos^{2}x+2\sqrt{3}=0

Каждое слагаемое делится на \sqrt{3}, а \sqrt{3}\ne 0, поэтому смело делим:

\sin x-2\cos^{2}x+2=0

Осталось привести всё к одной функции. Основное тригонометрическое тождество \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 даёт \cos^{2}x=1-\sin^{2}x:

\sin x-2\left(1-\sin^{2}x\right)+2=0

Раскроем скобки: -2\cdot 1=-2 и -2\cdot(-\sin^{2}x)=2\sin^{2}x, значит

\sin x-2+2\sin^{2}x+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2\sin^{2}x+\sin x=0

Числа -2 и +2 погасили друг друга. Выносим \sin x за скобку:

\sin x\left(2\sin x+1\right)=0

Отсюда два простейших уравнения.

Первое: \sin x=0. Синус равен нулю в точках 0 и \pi, а они повторяются через \pi:

x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второе: 2\sin x+1=0, то есть \sin x=-\dfrac{1}{2}. Это две точки нижней половины окружности:

x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Отбираем корни из отрезка \left[-\dfrac{5\pi}{2};\,-\pi\right]. Проверять будем так: каждую серию подставим в двойное неравенство и найдём, при каких целых значениях параметра оно выполняется.

Серия x=\pi n:

-\dfrac{5\pi}{2}\le \pi n\le -\pi\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}5\le n\le -1

Подходят n=-2 и n=-1, то есть x=-2\pi и x=-\pi.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n:

-\dfrac{5}{2}\le -\dfrac{1}{6}+2n\le -1\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{6}\le 2n\le -1+\dfrac{1}{6}

-\dfrac{7}{3}\le 2n\le -\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{6}\le n\le -\dfrac{5}{12}

Это примерно -1{,}17\le n\le -0{,}42, целое одно — n=-1:

x=-\dfrac{\pi}{6}-2\pi=\dfrac{-\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{13\pi}{6}

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n:

-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{6}\le 2n\le -1+\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{3}\le 2n\le -\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{6}\le n\le -\dfrac{1}{12}

Между -0{,}83 и -0{,}08 целых чисел нет — эта серия на отрезок не попадает.

Расставим найденные корни по возрастанию: -\dfrac{13\pi}{6}\approx -2{,}17\pi, затем -2\pi, затем -\pi — все три внутри отрезка от -2{,}5\pi до -\pi.