Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028731

Пункт а. В левой части спрятан синус суммы — с ним ничего не сделаешь, пока не раскроешь. Раскроем и посмотрим, что сократится.

Формула синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$. Подставим $\alpha=x$, $\beta=\dfrac{\pi}{6}$ и вспомним табличные значения $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$:

$$2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$

Уравнение принимает вид:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\cos^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}$$

Вот тут и виден подарок: слагаемое $\cos x$ есть и слева, и справа — оно уходит. Переносим всё влево:

$$\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}\cos^{2}x+2\sqrt{3}=0$$

Каждое слагаемое делится на $\sqrt{3}$, а $\sqrt{3}\ne 0$, поэтому смело делим:

$$\sin x-2\cos^{2}x+2=0$$

Осталось привести всё к одной функции. Основное тригонометрическое тождество $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ даёт $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$:

$$\sin x-2\left(1-\sin^{2}x\right)+2=0$$

Раскроем скобки: $-2\cdot 1=-2$ и $-2\cdot(-\sin^{2}x)=2\sin^{2}x$, значит

$$\sin x-2+2\sin^{2}x+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2\sin^{2}x+\sin x=0$$

Числа $-2$ и $+2$ погасили друг друга. Выносим $\sin x$ за скобку:

$$\sin x\left(2\sin x+1\right)=0$$

Отсюда два простейших уравнения.

Первое: $\sin x=0$. Синус равен нулю в точках $0$ и $\pi$, а они повторяются через $\pi$:

$$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второе: $2\sin x+1=0$, то есть $\sin x=-\dfrac{1}{2}$. Это две точки нижней половины окружности:

$$x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отбираем корни из отрезка $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\,-\pi\right]$. Проверять будем так: каждую серию подставим в двойное неравенство и найдём, при каких целых значениях параметра оно выполняется.

Серия $x=\pi n$:

$$-\dfrac{5\pi}{2}\le \pi n\le -\pi\quad\Longleftrightarrow\quad -2{,}5\le n\le -1$$

Подходят $n=-2$ и $n=-1$, то есть $x=-2\pi$ и $x=-\pi$.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$:

$$-\dfrac{5}{2}\le -\dfrac{1}{6}+2n\le -1\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{6}\le 2n\le -1+\dfrac{1}{6}$$

$$-\dfrac{7}{3}\le 2n\le -\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{7}{6}\le n\le -\dfrac{5}{12}$$

Это примерно $-1{,}17\le n\le -0{,}42$, целое одно — $n=-1$:

$$x=-\dfrac{\pi}{6}-2\pi=\dfrac{-\pi-12\pi}{6}=-\dfrac{13\pi}{6}$$

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$:

$$-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{6}\le 2n\le -1+\dfrac{5}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{3}\le 2n\le -\dfrac{1}{6}\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{5}{6}\le n\le -\dfrac{1}{12}$$

Между $-0{,}83$ и $-0{,}08$ целых чисел нет — эта серия на отрезок не попадает.

Расставим найденные корни по возрастанию: $-\dfrac{13\pi}{6}\approx -2{,}17\pi$, затем $-2\pi$, затем $-\pi$ — все три внутри отрезка от $-2{,}5\pi$ до $-\pi$.