Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028730

Пункт а. В уравнении встретились два разных аргумента: $2x$ и $x+\pi$. Пока аргументы разные, ничего вынести за скобку не получится, поэтому первым делом сведём всё к одному углу $x$.

Синус двойного угла раскрывается по формуле $\sin 2x=2\sin x\cos x$. А $\cos(x+\pi)$ — это формула приведения: сдвиг на $\pi$ разворачивает косинус в противоположную сторону, то есть $\cos(x+\pi)=-\cos x$. Подставим оба выражения:

$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$

Теперь в обоих слагаемых виден общий множитель $\cos x$ — вынесем его за скобку:

$$\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда ноль даёт хотя бы один множитель. Получаем два простейших уравнения.

Первое: $\cos x=0$. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках окружности, а они отстоят друг от друга ровно на $\pi$, поэтому серия записывается одной строкой:

$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Второе: $2\sin x-\sqrt{2}=0$, то есть

$$\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Синус равен $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках окружности — на углах $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$, и дальше всё повторяется через полный оборот:

$$x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Теперь надо выбрать корни, попавшие на отрезок $\left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]$. Отрезок лежит далеко от нуля — почти два с половиной оборота, поэтому вместо рисования окружности удобнее записать условие «корень внутри отрезка» как двойное неравенство и перебрать целые значения параметра.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$:

$$3\pi\le \dfrac{\pi}{2}+\pi n\le \dfrac{9\pi}{2}$$

Разделим всё на $\pi$ и вычтем $\dfrac12$:

$$3-\dfrac{1}{2}\le n\le \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{,}5\le n\le 4$$

Целые значения — $n=3$ и $n=4$:

$$x=\dfrac{\pi}{2}+3\pi=\dfrac{7\pi}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{2}+4\pi=\dfrac{9\pi}{2}$$

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$:

$$3\le \dfrac{1}{4}+2n\le \dfrac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{,}75\le 2n\le 4{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}375\le n\le 2{,}125$$

Подходит только $n=2$:

$$x=\dfrac{\pi}{4}+4\pi=\dfrac{\pi+16\pi}{4}=\dfrac{17\pi}{4}$$

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$:

$$3\le \dfrac{3}{4}+2n\le \dfrac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{,}25\le 2n\le 3{,}75\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}125\le n\le 1{,}875$$

Между $1{,}125$ и $1{,}875$ целых чисел нет — эта серия на отрезок не попадает вовсе.

Проверим себя прикидкой: $\dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi$, $\dfrac{17\pi}{4}=4{,}25\pi$, $\dfrac{9\pi}{2}=4{,}5\pi$ — все три числа лежат между $3\pi$ и $4{,}5\pi$, причём последнее совпало с правым концом, а концы отрезка входят в него.