Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 2…

Пункт а. В уравнении встретились два разных аргумента: 2x и x+\pi. Пока аргументы разные, ничего вынести за скобку не получится, поэтому первым делом сведём всё к одному углу x.

Синус двойного угла раскрывается по формуле \sin 2x=2\sin x\cos x. А \cos(x+\pi) — это формула приведения: сдвиг на \pi разворачивает косинус в противоположную сторону, то есть \cos(x+\pi)=-\cos x. Подставим оба выражения:

2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0

Теперь в обоих слагаемых виден общий множитель \cos x — вынесем его за скобку:

\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда ноль даёт хотя бы один множитель. Получаем два простейших уравнения.

Первое: \cos x=0. Косинус обращается в ноль в верхней и нижней точках окружности, а они отстоят друг от друга ровно на \pi, поэтому серия записывается одной строкой:

x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Второе: 2\sin x-\sqrt{2}=0, то есть

\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Синус равен \dfrac{\sqrt{2}}{2} в двух точках окружности — на углах \dfrac{\pi}{4} и \dfrac{3\pi}{4}, и дальше всё повторяется через полный оборот:

x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\qquad\text{и}\qquad x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Теперь надо выбрать корни, попавшие на отрезок \left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]. Отрезок лежит далеко от нуля — почти два с половиной оборота, поэтому вместо рисования окружности удобнее записать условие «корень внутри отрезка» как двойное неравенство и перебрать целые значения параметра.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n:

3\pi\le \dfrac{\pi}{2}+\pi n\le \dfrac{9\pi}{2}

Разделим всё на \pi и вычтем \dfrac12:

3-\dfrac{1}{2}\le n\le \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{,}5\le n\le 4

Целые значения — n=3 и n=4:

x=\dfrac{\pi}{2}+3\pi=\dfrac{7\pi}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{2}+4\pi=\dfrac{9\pi}{2}

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n:

3\le \dfrac{1}{4}+2n\le \dfrac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{,}75\le 2n\le 4{,}25\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}375\le n\le 2{,}125

Подходит только n=2:

x=\dfrac{\pi}{4}+4\pi=\dfrac{\pi+16\pi}{4}=\dfrac{17\pi}{4}

Серия x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n:

3\le \dfrac{3}{4}+2n\le \dfrac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2{,}25\le 2n\le 3{,}75\quad\Longleftrightarrow\quad 1{,}125\le n\le 1{,}875

Между 1{,}125 и 1{,}875 целых чисел нет — эта серия на отрезок не попадает вовсе.

Проверим себя прикидкой: \dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi, \dfrac{17\pi}{4}=4{,}25\pi, \dfrac{9\pi}{2}=4{,}5\pi — все три числа лежат между 3\pi и 4{,}5\pi, причём последнее совпало с правым концом, а концы отрезка входят в него.