Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 8 умножить на 16 в степени синус в квадрате…

Пункт а. Слева стоят две показательные степени, а в показателях спрятана тригонометрия. Значит, план такой: сначала привести обе степени к одному основанию, потом сделать так, чтобы в показателях стояло одно и то же выражение — тогда получится обычное уравнение с заменой.

Основания легко подружить: 16=4^{2}, поэтому

16^{\sin^{2}x}=\left(4^{2}\right)^{\sin^{2}x}=4^{2\sin^{2}x}

Теперь займёмся показателями. Формула косинуса двойного угла (она связывает \cos 2x с квадратом синуса) говорит: \cos 2x=1-2\sin^{2}x. Выразим отсюда то, что нам нужно:

2\sin^{2}x=1-\cos 2x

Подставим это в показатель и разобьём степень суммы на произведение:

4^{2\sin^{2}x}=4^{1-\cos 2x}=\dfrac{4^{1}}{4^{\cos 2x}}=\dfrac{4}{4^{\cos 2x}}

Вот теперь во всём уравнении осталась одна незнакомая величина — 4^{\cos 2x}. Обозначим её буквой: пусть t=4^{\cos 2x}. Показательная функция всегда положительна, поэтому сразу запомним ограничение t\gt 0.

Переписываем уравнение через t:

8\cdot\dfrac{4}{t}-2t=63\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{32}{t}-2t=63

Умножим обе части на t (это можно, ведь t\ne 0) и соберём всё в одну сторону:

32-2t^{2}=63t\quad\Longleftrightarrow\quad 2t^{2}+63t-32=0

Считаем дискриминант — число под корнем в формуле корней квадратного уравнения:

D=63^{2}-4\cdot 2\cdot(-32)=3969+256=4225,\qquad \sqrt{D}=65

Отсюда два значения:

t_{1}=\dfrac{-63+65}{2\cdot 2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},\qquad t_{2}=\dfrac{-63-65}{4}=\dfrac{-128}{4}=-32

Второе значение отбрасываем: мы договорились, что t\gt 0, а степень четвёрки отрицательной быть не может.

Возвращаемся к x. Надо решить 4^{\cos 2x}=\dfrac{1}{2}. Заметим, что \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=4^{-\frac{1}{2}}. У одинаковых оснований равны и показатели:

\cos 2x=-\dfrac{1}{2}

Это простейшее уравнение. Косинус равен -\dfrac12 при аргументе \pm\dfrac{2\pi}{3} плюс любое число полных оборотов:

2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Делим обе части на 2:

x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}

Пункт б. Теперь отбираем те корни, которые лежат на отрезке \left[\dfrac{7\pi}{2};\,5\pi\right]. Отрезок далеко от нуля, поэтому рисовать окружность неудобно — надёжнее прямо подставить формулу корней в двойное неравенство и посмотреть, какие целые n подходят.

Первая серия x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n. Требуем:

\dfrac{7\pi}{2}\le \dfrac{\pi}{3}+\pi n\le 5\pi

Разделим всё на \pi (число положительное, знаки неравенств не меняются) и вычтем \dfrac13:

\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{3}\le n\le 5-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{19}{6}\le n\le \dfrac{14}{3}

В десятичном виде это примерно 3{,}17\le n\le 4{,}67, целое здесь одно — n=4:

x=\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi+12\pi}{3}=\dfrac{13\pi}{3}

Вторая серия x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n. Точно так же:

\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{3}\le n\le 5+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{23}{6}\le n\le \dfrac{16}{3}

Это примерно 3{,}83\le n\le 5{,}33, подходят n=4 и n=5:

x=-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3},\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+5\pi=\dfrac{14\pi}{3}

Проверим себя грубой прикидкой: \dfrac{11\pi}{3}\approx 3{,}67\pi, \dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi, \dfrac{14\pi}{3}\approx 4{,}67\pi — все три числа действительно сидят между 3{,}5\pi и 5\pi.