Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028727

Пункт а. Слева стоят две показательные степени, а в показателях спрятана тригонометрия. Значит, план такой: сначала привести обе степени к одному основанию, потом сделать так, чтобы в показателях стояло одно и то же выражение — тогда получится обычное уравнение с заменой.

Основания легко подружить: $16=4^{2}$, поэтому

$$16^{\sin^{2}x}=\left(4^{2}\right)^{\sin^{2}x}=4^{2\sin^{2}x}$$

Теперь займёмся показателями. Формула косинуса двойного угла (она связывает $\cos 2x$ с квадратом синуса) говорит: $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$. Выразим отсюда то, что нам нужно:

$$2\sin^{2}x=1-\cos 2x$$

Подставим это в показатель и разобьём степень суммы на произведение:

$$4^{2\sin^{2}x}=4^{1-\cos 2x}=\dfrac{4^{1}}{4^{\cos 2x}}=\dfrac{4}{4^{\cos 2x}}$$

Вот теперь во всём уравнении осталась одна незнакомая величина — $4^{\cos 2x}$. Обозначим её буквой: пусть $t=4^{\cos 2x}$. Показательная функция всегда положительна, поэтому сразу запомним ограничение $t\gt 0$.

Переписываем уравнение через $t$:

$$8\cdot\dfrac{4}{t}-2t=63\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{32}{t}-2t=63$$

Умножим обе части на $t$ (это можно, ведь $t\ne 0$) и соберём всё в одну сторону:

$$32-2t^{2}=63t\quad\Longleftrightarrow\quad 2t^{2}+63t-32=0$$

Считаем дискриминант — число под корнем в формуле корней квадратного уравнения:

$$D=63^{2}-4\cdot 2\cdot(-32)=3969+256=4225,\qquad \sqrt{D}=65$$

Отсюда два значения:

$$t_{1}=\dfrac{-63+65}{2\cdot 2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},\qquad t_{2}=\dfrac{-63-65}{4}=\dfrac{-128}{4}=-32$$

Второе значение отбрасываем: мы договорились, что $t\gt 0$, а степень четвёрки отрицательной быть не может.

Возвращаемся к $x$. Надо решить $4^{\cos 2x}=\dfrac{1}{2}$. Заметим, что $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=4^{-\frac{1}{2}}$. У одинаковых оснований равны и показатели:

$$\cos 2x=-\dfrac{1}{2}$$

Это простейшее уравнение. Косинус равен $-\dfrac12$ при аргументе $\pm\dfrac{2\pi}{3}$ плюс любое число полных оборотов:

$$2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Делим обе части на $2$:

$$x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Теперь отбираем те корни, которые лежат на отрезке $\left[\dfrac{7\pi}{2};\,5\pi\right]$. Отрезок далеко от нуля, поэтому рисовать окружность неудобно — надёжнее прямо подставить формулу корней в двойное неравенство и посмотреть, какие целые $n$ подходят.

Первая серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$. Требуем:

$$\dfrac{7\pi}{2}\le \dfrac{\pi}{3}+\pi n\le 5\pi$$

Разделим всё на $\pi$ (число положительное, знаки неравенств не меняются) и вычтем $\dfrac13$:

$$\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{3}\le n\le 5-\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{19}{6}\le n\le \dfrac{14}{3}$$

В десятичном виде это примерно $3{,}17\le n\le 4{,}67$, целое здесь одно — $n=4$:

$$x=\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi+12\pi}{3}=\dfrac{13\pi}{3}$$

Вторая серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$. Точно так же:

$$\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{3}\le n\le 5+\dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{23}{6}\le n\le \dfrac{16}{3}$$

Это примерно $3{,}83\le n\le 5{,}33$, подходят $n=4$ и $n=5$:

$$x=-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3},\qquad x=-\dfrac{\pi}{3}+5\pi=\dfrac{14\pi}{3}$$

Проверим себя грубой прикидкой: $\dfrac{11\pi}{3}\approx 3{,}67\pi$, $\dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi$, $\dfrac{14\pi}{3}\approx 4{,}67\pi$ — все три числа действительно сидят между $3{,}5\pi$ и $5\pi$.