На рисунке изображён график функции y равно f левая круглая скобка x правая круглая скобка , определённой на интервале левая круглая скобка минус 10; 3 правая круглая скобка . Найдите количество корней уравнения f' левая круглая скобка x правая круглая скобка равно 0 , принадлежащих отрезку левая квадратная скобка минус 7; 2 правая квадратная скобка .

Задание 12 ЕГЭ по математике: На рисунке изображён график функции y равно f левая круглая…

№2. Задание 12

ID: 00028726

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ , определённой на интервале $(-10;3)$ . Найдите количество корней уравнения $f'(x)=0$ , принадлежащих отрезку $[-7;2]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Первое, в чём тут легко запутаться, — что именно нарисовано. На картинке график самой функции $f$ , а спрашивают про её производную $f'$ . Производную придётся не вычислять, а «читать» по форме кривой.

Производная в точке — это наклон касательной, то есть насколько круто график в этой точке идёт вверх или вниз. Если производная равна нулю, значит наклона нет и касательная лежит горизонтально.

А горизонтальной касательная бывает ровно там, где график перестаёт подниматься и начинает опускаться (вершина горки) или наоборот перестаёт опускаться и начинает подниматься (дно ямки). Такие точки называют точками экстремума.

Значит, вопрос «сколько корней у уравнения $f'(x)=0$ » превращается в куда более простой вопрос: сколько у графика вершин и впадин.

И тут главная ловушка. График нарисован на всём интервале $(-10;3)$ , а считать надо только на отрезке $[-7;2]$ . Левее $x=-7$ у кривой есть ещё вершина и глубокая впадина (примерно при $x=-8$ ) — они прекрасно видны, но в наш отрезок не попадают и в ответ не идут.

Теперь пройдём по графику слева направо, начиная строго от $x=-7$ .

В самой точке $x=-7$ кривая уже поднимается, поворота здесь нет. Она растёт до вершины примерно при $x=-4$ , где достигает высоты около $4$ — это первый поворот.

После вершины график круто падает и разворачивается в глубокой впадине примерно при $x=-2$ — второй поворот.

Дальше идёт небольшой подъём к вершине примерно при $x=-1$ — третий поворот.

Потом снова спуск в неглубокую впадину примерно при $x=0$ — четвёртый поворот.

И последний подъём к вершине примерно при $x=1$ — пятый поворот. После неё кривая просто уходит вниз и доходит до правого края отрезка $x=2$ , ни разу не развернувшись.

Получилось пять точек, где касательная к графику горизонтальна, то есть пять корней уравнения $f'(x)=0$ на отрезке $[-7;2]$ .

Проверим себя. Вершины и впадины обязаны чередоваться: между двумя горками всегда есть ямка. У нас вышло «вершина — впадина — вершина — впадина — вершина» — чередование не нарушено, значит ни один поворот не пропущен и ни один не посчитан дважды.

Ответ