Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00028726

Первое, в чём тут легко запутаться, — что именно нарисовано. На картинке график самой функции $f$, а спрашивают про её производную $f'$. Производную придётся не вычислять, а «читать» по форме кривой.

Производная в точке — это наклон касательной, то есть насколько круто график в этой точке идёт вверх или вниз. Если производная равна нулю, значит наклона нет и касательная лежит горизонтально.

А горизонтальной касательная бывает ровно там, где график перестаёт подниматься и начинает опускаться (вершина горки) или наоборот перестаёт опускаться и начинает подниматься (дно ямки). Такие точки называют точками экстремума.

Значит, вопрос «сколько корней у уравнения $f'(x)=0$» превращается в куда более простой вопрос: сколько у графика вершин и впадин.

И тут главная ловушка. График нарисован на всём интервале $(-10;3)$, а считать надо только на отрезке $[-7;2]$. Левее $x=-7$ у кривой есть ещё вершина и глубокая впадина (примерно при $x=-8$) — они прекрасно видны, но в наш отрезок не попадают и в ответ не идут.

Теперь пройдём по графику слева направо, начиная строго от $x=-7$.

В самой точке $x=-7$ кривая уже поднимается, поворота здесь нет. Она растёт до вершины примерно при $x=-4$, где достигает высоты около $4$ — это первый поворот.

После вершины график круто падает и разворачивается в глубокой впадине примерно при $x=-2$ — второй поворот.

Дальше идёт небольшой подъём к вершине примерно при $x=-1$ — третий поворот.

Потом снова спуск в неглубокую впадину примерно при $x=0$ — четвёртый поворот.

И последний подъём к вершине примерно при $x=1$ — пятый поворот. После неё кривая просто уходит вниз и доходит до правого края отрезка $x=2$, ни разу не развернувшись.

Получилось пять точек, где касательная к графику горизонтальна, то есть пять корней уравнения $f'(x)=0$ на отрезке $[-7;2]$.

Проверим себя. Вершины и впадины обязаны чередоваться: между двумя горками всегда есть ямка. У нас вышло «вершина — впадина — вершина — впадина — вершина» — чередование не нарушено, значит ни один поворот не пропущен и ни один не посчитан дважды.