Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022126

Точка минимума — ямка, где спуск сменяется подъёмом. Ищем её через производную: она показывает, где функция перестаёт падать и начинает расти.

Берём производную: $y' = 3x^2 - 192$.

Приравниваем к нулю: $3x^2 - 192 = 0$, то есть $x^2 = 64$, откуда $x = -8$ или $x = 8$.

Смотрим знаки. Между $-8$ и $8$ производная отрицательная — функция падает; правее $8$ положительная — растёт. В точке $8$ падение сменилось ростом — это минимум.

А в точке $x = -8$ рост сменяется падением, там максимум.

Значит, точка минимума $x = 8$.