Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022129

Точка максимума — горка, где подъём сменяется спуском. Найдём её через производную: она показывает, где рост переходит в падение.

Берём производную: $y' = 3x^2 + 60x + 225$.

Приравниваем к нулю и делим на $3$: $x^2 + 20x + 75 = 0$. Раскладываем: $(x + 5)(x + 15) = 0$, откуда $x = -5$ или $x = -15$.

Смотрим знаки. Левее $-15$ производная положительная — функция растёт; между $-15$ и $-5$ отрицательная — падает. В точке $-15$ рост сменился падением — это максимум.

А в точке $x = -5$ падение сменяется ростом, там минимум.

Значит, точка максимума $x = -15$.