Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022130

Это дробь, поэтому производную берём по правилу для частного $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = -\dfrac{(x^2+256) - x\cdot 2x}{(x^2+256)^2}$.

Упростим числитель: $(x^2+256) - 2x^2 = 256 - x^2$. Значит $y' = -\dfrac{256 - x^2}{(x^2+256)^2} = \dfrac{x^2 - 256}{(x^2+256)^2}$.

Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной решает только числитель $x^2 - 256$. Приравниваем его к нулю: $x^2 = 256$, отсюда $x = -16$ или $x = 16$.

Разбираемся со знаками. При переходе через $x = 16$ выражение $x^2 - 256$ меняется с минуса на плюс — производная идёт «вниз-вверх», это и есть минимум.

Через $x = -16$ знак меняется наоборот, там был бы максимум — он нам не нужен.

Значит, точка минимума $x = 16$.