Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022133

Это произведение многочлена и экспоненты, поэтому берём производную по правилу произведения. Производная скобки $8x^2 - 40x + 40$ равна $16x - 40$, а $e^{x+4}$ остаётся собой.

Собираем и выносим общий множитель $e^{x+4}$: $y' = (16x - 40)e^{x+4} + (8x^2 - 40x + 40)e^{x+4} = e^{x+4}(8x^2 - 24x)$.

В скобке вынесем $8x$: $8x^2 - 24x = 8x(x-3)$. Тогда $y' = e^{x+4}\cdot 8x(x-3)$.

Приравниваем к нулю: экспонента положительна всегда, значит ноль дают множители $x = 0$ и $x - 3 = 0$, то есть $x = 0$ и $x = 3$.

Расставим знаки. Левее нуля произведение $8x(x-3)$ положительно, между $0$ и $3$ — отрицательно, правее $3$ — снова положительно. Нам нужен минимум: в точке $x = 3$ спуск сменяется подъёмом — это точка минимума (а в $x = 0$ был максимум).

Значит, точка минимума — это $x = 3$.