Это произведение многочлена и экспоненты, поэтому берём производную по правилу произведения. Производная скобки 8x^2 - 40x + 40 равна 16x - 40, а e^{x+4} остаётся собой.

Собираем и выносим общий множитель e^{x+4}: y' = (16x - 40)e^{x+4} + (8x^2 - 40x + 40)e^{x+4} = e^{x+4}(8x^2 - 24x).

В скобке вынесем 8x: 8x^2 - 24x = 8x(x-3). Тогда y' = e^{x+4}\cdot 8x(x-3).

Приравниваем к нулю: экспонента положительна всегда, значит ноль дают множители x = 0 и x - 3 = 0, то есть x = 0 и x = 3.

Расставим знаки. Левее нуля произведение 8x(x-3) положительно, между 0 и 3 — отрицательно, правее 3 — снова положительно. Нам нужен минимум: в точке x = 3 спуск сменяется подъёмом — это точка минимума (а в x = 0 был максимум).

Значит, точка минимума — это x = 3.