Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022127

Точка максимума — горка, где подъём сменяется спуском. Ловим её производной: она показывает, где рост переходит в падение.

Берём производную: $y' = 3x^2 - 147$.

Приравниваем к нулю: $3x^2 - 147 = 0$, то есть $x^2 = 49$, откуда $x = -7$ или $x = 7$.

Смотрим знаки. Левее $-7$ производная положительная — функция растёт; между $-7$ и $7$ отрицательная — падает. В точке $-7$ рост сменился падением — это максимум.

А в точке $x = 7$ наоборот: падение сменяется ростом, там минимум.

Значит, точка максимума $x = -7$.