Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022132

Перед нами произведение, поэтому работаем по правилу произведения. Производная $(x+8)^2$ равна $2(x+8)$, а у $e^{3-x}$ из-за минуса в показателе появляется множитель $-1$, то есть её производная равна $-e^{3-x}$.

Собираем и выносим общий множитель $e^{3-x}(x+8)$: $y' = e^{3-x}(x+8)\bigl(2 - (x+8)\bigr) = -e^{3-x}(x+8)(x+6)$.

Приравниваем к нулю: экспонента никогда не ноль, поэтому обнуляются скобки. Получаем $x + 8 = 0$ или $x + 6 = 0$, то есть $x = -8$ и $x = -6$.

Расставим знаки на числовой прямой. Левее $-8$ производная отрицательна, между $-8$ и $-6$ — положительна, правее $-6$ — снова отрицательна. Нас интересует максимум: в точке $x = -6$ подъём сменяется спуском — это и есть точка максимума (а в $x = -8$ был минимум).

Значит, точка максимума — это $x = -6$.