Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022128

Точка минимума — ямка, где спуск сменяется подъёмом. Найдём её через производную: она ловит момент, когда падение переходит в рост.

Берём производную: $y' = 3x^2 - 24x + 36$.

Приравниваем к нулю и делим на $3$: $x^2 - 8x + 12 = 0$. Раскладываем: $(x - 2)(x - 6) = 0$, откуда $x = 2$ или $x = 6$.

Смотрим знаки. Между корнями $2$ и $6$ производная отрицательная — функция падает; правее $6$ положительная — растёт. В точке $6$ падение сменилось ростом — это минимум.

А в точке $x = 2$ наоборот: рост сменяется падением, там максимум.

Значит, точка минимума $x = 6$.