ID: 00028705
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $70^{\circ}$. Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.
Источник: ФИПИ
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\angle B=70^\circ$.
Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам:
$$\angle DCB=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$
Медиана $CM$ идёт в середину гипотенузы $M$, а середина гипотенузы равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника: $MC=MB$. Значит, треугольник $CMB$ равнобедренный:
$$\angle MCB=\angle B=70^\circ.$$
Поскольку $\angle MCB$ больше $\angle DCB$, луч $CD$ лежит между лучами $CB$ и $CM$, и искомый угол — разность:
$$\angle DCM=\angle MCB-\angle DCB=70^\circ-45^\circ=25^\circ.$$