Задание 1 ЕГЭ по математике: Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 70 в степени…

№2. Задание 1

ID: 00028705

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $70^{\circ}$ . Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$ , проведёнными из вершины прямого угла $C$ . Ответ дайте в градусах.

Источник: ФИПИ

Решение

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\angle B=70^\circ$ .

Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам:

$\angle DCB=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ.$

Медиана $CM$ идёт в середину гипотенузы $M$ , а середина гипотенузы равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника: $MC=MB$ . Значит, треугольник $CMB$ равнобедренный:

$\angle MCB=\angle B=70^\circ.$

Поскольку $\angle MCB$ больше $\angle DCB$ , луч $CD$ лежит между лучами $CB$ и $CM$ , и искомый угол — разность:

$\angle DCM=\angle MCB-\angle DCB=70^\circ-45^\circ=25^\circ.$

Ответ