Задание ЕГЭ по математике №00024830

Область определения — это все числа, которые разрешено подставлять вместо $x$.

Вспомним смысл логарифма: $\log_a x$ — это ответ на вопрос «в какую степень возвести $a$, чтобы получить $x$». То есть мы ищем такое число $t$, что $a^t = x$.

А теперь ключевое: основание $a$ положительное, и положительное число в любой степени остаётся положительным. Ни отрицательным, ни нулевым результат стать не может.

Проверим на примере: чему равен $\log_2 (-8)$? Пришлось бы найти степень, в которой двойка даёт $-8$. Но $2^3 = 8$, $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ — минус нигде не появляется. Такой степени просто нет.

А $\log_2 0$? Двойка в отрицательных степенях даёт всё более мелкие дроби, приближающиеся к нулю, но ровно нуля не даёт никогда.

Значит, под знаком логарифма может стоять только строго положительное число:

$$x \gt 0$$

Вариант $x \geq 0$ неверен именно из-за нуля: он в область определения не входит. Вариант «любые $x$» тем более не подходит — отрицательные числа запрещены.