Задание ЕГЭ по математике №00024829

Возьмём основание между нулём и единицей, например $a = \dfrac{1}{2}$, и посчитаем логарифм от чисел, идущих по возрастанию.

$\log_{1/2} 1 = 0$, потому что $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1$.

$\log_{1/2} 2 = -1$, потому что $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

$\log_{1/2} 4 = -2$, потому что $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 4$.

Смотрим на картину: аргумент растёт ($1$, $2$, $4$), а значение падает ($0$, $-1$, $-2$). Значит, функция убывающая.

Почему так выходит: возведение половинки в положительную степень только уменьшает её ($\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$ и так далее). Чтобы получить число побольше единицы, приходится уходить в отрицательные степени — и чем больше нужное число, тем «глубже» в минус надо забраться.

Возрастающей функция была бы при основании больше единицы. Постоянной логарифмическая функция не бывает.