Задание ЕГЭ по математике №00024820

Проверяем как обычно: подставляем вместо $x$ число $-x$ и смотрим, сохранилось значение или перевернулся знак.

Запишем тангенс дробью и воспользуемся тем, что синус нечётный, а косинус чётный:

$$\operatorname{tg}(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$$

Минус наверху остался и никуда не делся, потому что снизу знак не поменялся. Получили, что значение перевернулось — а это и есть признак нечётной функции.

Проверим на числах: $\operatorname{tg} \dfrac{\pi}{4} = 1$, а $\operatorname{tg} \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1$. Знак действительно противоположный.

Чётной функция быть не может: у чётной значение при замене знака аргумента остаётся тем же самым, а здесь оно стало противоположным. И «никакой» функция тоже не является — правило выполняется для всех $x$ из области определения, без исключений.