Задание ЕГЭ по математике №00024819

Период — это наименьшее расстояние по горизонтали, после которого график в точности повторяет сам себя.

У синуса и косинуса период $2\pi$ — полный оборот. Но тангенс устроен как их отношение, и это меняет дело.

Сдвинемся на половину оборота, то есть на $\pi$. И синус, и косинус при этом переворачивают знак:

$$\sin(x + \pi) = -\sin x, \qquad \cos(x + \pi) = -\cos x$$

Подставим это в тангенс:

$$\operatorname{tg}(x + \pi) = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x$$

Два минуса сократились, и значение вернулось прежним. Значит, повторение наступает уже через $\pi$, а не через $2\pi$. С котангенсом происходит ровно то же самое.

Проверим на числах: $\operatorname{tg} \dfrac{\pi}{4} = 1$ и $\operatorname{tg} \left(\dfrac{\pi}{4} + \pi\right) = \operatorname{tg} \dfrac{5\pi}{4} = 1$ — совпало.

Вариант $\dfrac{\pi}{2}$ не годится: $\operatorname{tg} 0 = 0$, а $\operatorname{tg} \dfrac{\pi}{2}$ вообще не существует. Вариант $2\pi$ формально тоже возвращает значение, но это не наименьший такой сдвиг, а периодом называют именно наименьший.