Задание ЕГЭ по математике: Период функций y равно tgx и y равно ctgx равен: а) 2пи б) пи в)…
№2. Задание без номера
ID: 00024819
Период функций y = \operatorname{tg} x и y = \operatorname{ctg} x равен:
- а) 2\pi
- б) \pi
- в) \dfrac{\pi}{2}
В ответ запишите букву верного варианта: а, б или в.
Источник: Global_EE
Решение
Период — это наименьшее расстояние по горизонтали, после которого график в точности повторяет сам себя.
У синуса и косинуса период 2\pi — полный оборот. Но тангенс устроен как их отношение, и это меняет дело.
Сдвинемся на половину оборота, то есть на \pi. И синус, и косинус при этом переворачивают знак:
\sin(x + \pi) = -\sin x, \qquad \cos(x + \pi) = -\cos x
Подставим это в тангенс:
\operatorname{tg}(x + \pi) = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x
Два минуса сократились, и значение вернулось прежним. Значит, повторение наступает уже через \pi, а не через 2\pi. С котангенсом происходит ровно то же самое.
Проверим на числах: \operatorname{tg} \dfrac{\pi}{4} = 1 и \operatorname{tg} \left(\dfrac{\pi}{4} + \pi\right) = \operatorname{tg} \dfrac{5\pi}{4} = 1 — совпало.
Вариант \dfrac{\pi}{2} не годится: \operatorname{tg} 0 = 0, а \operatorname{tg} \dfrac{\pi}{2} вообще не существует. Вариант 2\pi формально тоже возвращает значение, но это не наименьший такой сдвиг, а периодом называют именно наименьший.