Задание ЕГЭ по математике №00024818

Котангенс — это тоже дробь, только перевёрнутая по сравнению с тангенсом:

$$\operatorname{ctg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$$

Здесь внизу стоит синус, поэтому ломаться функция будет там, где $\sin x = 0$.

Синус равен нулю в точках $0$, $\pi$, $-\pi$, $2\pi$, $-2\pi$ и так далее — то есть во всех целых количествах $\pi$:

$$x = n \cdot \pi, \quad n \text{ — целое}$$

Возле каждой такой точки знаменатель стремится к нулю, дробь разлетается в бесконечность, и график прижимается к вертикальной прямой, не касаясь её. Это и есть асимптоты.

Вариант с $k \cdot \dfrac{\pi}{2}$ при нечётном $k$ — это точки $\pm\dfrac{\pi}{2}$, $\pm\dfrac{3\pi}{2}$; там ноль у косинуса, а не у синуса. В этих точках котангенс отлично считается: $\operatorname{ctg} \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{0}{1} = 0$. Это асимптоты тангенса, а не котангенса.

Вариант $\dfrac{\pi}{4} + \pi n$ — это точки, где котангенс равен единице; там график просто проходит через уровень $y = 1$, никаких разрывов нет.