Задание ЕГЭ по математике: Асимптотами графика y равно ctgx являются прямые: а) x равно n…

Котангенс — это тоже дробь, только перевёрнутая по сравнению с тангенсом:

\operatorname{ctg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x}

Здесь внизу стоит синус, поэтому ломаться функция будет там, где \sin x = 0.

Синус равен нулю в точках 0, \pi, -\pi, 2\pi, -2\pi и так далее — то есть во всех целых количествах \pi:

x = n \cdot \pi, \quad n \text{ — целое}

Возле каждой такой точки знаменатель стремится к нулю, дробь разлетается в бесконечность, и график прижимается к вертикальной прямой, не касаясь её. Это и есть асимптоты.

Вариант с k \cdot \dfrac{\pi}{2} при нечётном k — это точки \pm\dfrac{\pi}{2}, \pm\dfrac{3\pi}{2}; там ноль у косинуса, а не у синуса. В этих точках котангенс отлично считается: \operatorname{ctg} \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{0}{1} = 0. Это асимптоты тангенса, а не котангенса.

Вариант \dfrac{\pi}{4} + \pi n — это точки, где котангенс равен единице; там график просто проходит через уровень y = 1, никаких разрывов нет.