Задание ЕГЭ по математике: Период функций y равно синус x и y равно косинус x равен: а) пи…
№2. Задание без номера
ID: 00024814
Период функций y = \sin x и y = \cos x равен:
- а) \pi
- б) 2\pi
- в) \dfrac{\pi}{2}
В ответ запишите букву верного варианта: а, б или в.
Источник: Global_EE
Решение
Период — это длина того куска, после которого график начинает в точности повторять сам себя.
Синус и косинус живут на числовой окружности: значение угла задаёт точку на окружности, а синус и косинус — её координаты. Чтобы вернуться в ту же самую точку, надо пройти полный круг.
Полный оборот по окружности — это 2\pi радиан. Поэтому и повторение наступает через 2\pi:
\sin(x + 2\pi) = \sin x, \qquad \cos(x + 2\pi) = \cos x
Проверим, почему \pi не подходит. Возьмём x = 0: тогда \sin 0 = 0, но \sin(0 + \pi) = 0 — вроде совпало. А теперь возьмём x = \dfrac{\pi}{2}: получаем \sin \dfrac{\pi}{2} = 1, тогда как \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \pi\right) = \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1. Значения разные, значит через \pi повторения нет — это лишь половина оборота, после которой знак переворачивается.
Тем более не годится \dfrac{\pi}{2}: это всего четверть круга.