Задание ЕГЭ по математике №00024814

Период — это длина того куска, после которого график начинает в точности повторять сам себя.

Синус и косинус живут на числовой окружности: значение угла задаёт точку на окружности, а синус и косинус — её координаты. Чтобы вернуться в ту же самую точку, надо пройти полный круг.

Полный оборот по окружности — это $2\pi$ радиан. Поэтому и повторение наступает через $2\pi$:

$$\sin(x + 2\pi) = \sin x, \qquad \cos(x + 2\pi) = \cos x$$

Проверим, почему $\pi$ не подходит. Возьмём $x = 0$: тогда $\sin 0 = 0$, но $\sin(0 + \pi) = 0$ — вроде совпало. А теперь возьмём $x = \dfrac{\pi}{2}$: получаем $\sin \dfrac{\pi}{2} = 1$, тогда как $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \pi\right) = \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1$. Значения разные, значит через $\pi$ повторения нет — это лишь половина оборота, после которой знак переворачивается.

Тем более не годится $\dfrac{\pi}{2}$: это всего четверть круга.