Логарифмы — Задание ЕГЭ по математике №00024785

Основания одинаковые, поэтому выражения под логарифмами равны. Сначала ОДЗ.

$$x^{2}-2x\gt 0\quad\text{и}\quad x+4\gt 0$$

Разберём первое условие: $x^{2}-2x=x(x-2)\gt 0$, значит $x\lt 0$ или $x\gt 2$. Второе даёт $x\gt -4$. Вместе: $-4\lt x\lt 0$ или $x\gt 2$ — обрати внимание, отрицательные значения здесь разрешены, в отличие от соседней задачи.

Приравниваем выражения под логарифмами.

$$x^{2}-2x=x+4$$

Переносим всё влево.

$$x^{2}-3x-4=0$$

Ищем два числа с суммой $3$ и произведением $-4$: это $4$ и $-1$.

$$x=4\quad\text{или}\quad x=-1$$

Проверяем $x=4$: под первым логарифмом $16-8=8\gt 0$, под вторым $4+4=8\gt 0$ — подходит.

Проверяем $x=-1$: под первым логарифмом $1+2=3\gt 0$, под вторым $-1+4=3\gt 0$ — тоже подходит.

Отрицательное значение $x$ само по себе не запрещено: важно лишь, чтобы положительными были выражения под логарифмами.