Решите уравнение: log по основанию 6 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка равно log по основанию 6 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка .

Задание ЕГЭ по математике: Решите уравнение: log по основанию 6 левая круглая скобка x в…

№2. Задание без номера

ID: 00024785

Решите уравнение: $\log_{6}(x^{2}-2x)=\log_{6}(x+4)$ .

Источник: Global_EE

Решение

Основания одинаковые, поэтому выражения под логарифмами равны. Сначала ОДЗ.

$x^{2}-2x\gt 0\quad\text{и}\quad x+4\gt 0$

Разберём первое условие: $x^{2}-2x=x(x-2)\gt 0$ , значит $x\lt 0$ или $x\gt 2$ . Второе даёт $x\gt -4$ . Вместе: $-4\lt x\lt 0$ или $x\gt 2$ — обрати внимание, отрицательные значения здесь разрешены, в отличие от соседней задачи.

Приравниваем выражения под логарифмами.

$x^{2}-2x=x+4$

Переносим всё влево.

$x^{2}-3x-4=0$

Ищем два числа с суммой $3$ и произведением $-4$ : это $4$ и $-1$ .

$x=4\quad\text{или}\quad x=-1$

Проверяем $x=4$ : под первым логарифмом $16-8=8\gt 0$ , под вторым $4+4=8\gt 0$ — подходит.

Проверяем $x=-1$ : под первым логарифмом $1+2=3\gt 0$ , под вторым $-1+4=3\gt 0$ — тоже подходит.

Отрицательное значение $x$ само по себе не запрещено: важно лишь, чтобы положительными были выражения под логарифмами.

Ответ

x=4; x=−1 / 4; -1 / -1; 4 / x=-1; x=4 / 4; −1 / −1; 4