ID: 00024785
Решите уравнение: $\log_{6}(x^{2}-2x)=\log_{6}(x+4)$.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Основания одинаковые, поэтому выражения под логарифмами равны. Сначала ОДЗ.
$$x^{2}-2x\gt 0\quad\text{и}\quad x+4\gt 0$$
Разберём первое условие: $x^{2}-2x=x(x-2)\gt 0$, значит $x\lt 0$ или $x\gt 2$. Второе даёт $x\gt -4$. Вместе: $-4\lt x\lt 0$ или $x\gt 2$ — обрати внимание, отрицательные значения здесь разрешены, в отличие от соседней задачи.
Приравниваем выражения под логарифмами.
$$x^{2}-2x=x+4$$
Переносим всё влево.
$$x^{2}-3x-4=0$$
Ищем два числа с суммой $3$ и произведением $-4$: это $4$ и $-1$.
$$x=4\quad\text{или}\quad x=-1$$
Проверяем $x=4$: под первым логарифмом $16-8=8\gt 0$, под вторым $4+4=8\gt 0$ — подходит.
Проверяем $x=-1$: под первым логарифмом $1+2=3\gt 0$, под вторым $-1+4=3\gt 0$ — тоже подходит.
Отрицательное значение $x$ само по себе не запрещено: важно лишь, чтобы положительными были выражения под логарифмами.