Логарифмы — Задание ЕГЭ по математике №00024782

Слева и справа стоят логарифмы с одинаковым основанием. Логарифм — функция, которая разным положительным числам даёт разные значения, поэтому равны логарифмы только тогда, когда равны сами выражения под ними.

Но сначала ОДЗ: оба выражения под логарифмами должны быть положительными.

$$x+5\gt 0\quad\text{и}\quad 3x-1\gt 0$$

Из первого условия $x\gt -5$, из второго $x\gt \frac{1}{3}$. Строже второе, поэтому ОДЗ: $x\gt \frac{1}{3}$.

Теперь убираем логарифмы и приравниваем выражения.

$$x+5=3x-1$$

Собираем $x$ в одной части, числа — в другой.

$$5+1=3x-x$$

$$6=2x$$

Делим обе части на $2$.

$$x=3$$

Проверяем ОДЗ: $3\gt \frac{1}{3}$ — корень подходит.