Логарифмы — Задание ЕГЭ по математике №00024781

ОДЗ: выражение под логарифмом строго положительно.

$$x^{2}+x\gt 0$$

Отложим это условие и вернёмся к нему при проверке корней.

По определению логарифма двойку возводим в первую степень.

$$x^{2}+x=2^{1}=2$$

Переносим двойку влево, чтобы получить обычное квадратное уравнение.

$$x^{2}+x-2=0$$

Ищем два числа, сумма которых равна $-1$ (коэффициент со знаком минус), а произведение равно $-2$. Это $1$ и $-2$.

$$x=1\quad\text{или}\quad x=-2$$

Проверяем ОДЗ подстановкой. При $x=1$: $1^{2}+1=2\gt 0$ — подходит.

При $x=-2$: $(-2)^{2}+(-2)=4-2=2\gt 0$ — тоже подходит.

Отрицательный корень здесь не лишний: под логарифмом стоит не сам $x$, а выражение, которое при $x=-2$ остаётся положительным.