Из точки O проведена касательная OK равно 10 , первая секущая с внешней частью OA равно 5 и вторая секущая с внешней частью OC равно 4 . Найдите длины секущих OB и OD .

Задание ЕГЭ по математике: Из точки O проведена касательная OK равно 10 , первая секущая с…

№2. Задание без номера

ID: 00024726

Из точки $O$ проведена касательная $OK=10$ , первая секущая с внешней частью $OA=5$ и вторая секущая с внешней частью $OC=4$ . Найдите длины секущих $OB$ и $OD$ .

Источник: Global_EE

Решение

У каждой точки вне окружности есть своя «визитная карточка» — постоянное число, которое получается одинаково по любой проведённой из неё линии. По касательной это квадрат её длины, по секущей — произведение всей секущей на внешнюю часть.

Считаем это число по касательной.

$OK^2=10^2=100$

Теперь для первой секущей: вся секущая на внешнюю часть должна дать то же самое число.

$OA\cdot OB=100$

$5\cdot OB=100$

Делим обе части на $5$ .

$OB=\frac{100}{5}=20$

Со второй секущей поступаем точно так же.

$4\cdot OD=100$

$OD=\frac{100}{4}=25$

Картинка получается корректной: для каждой секущей внешняя часть меньше касательной, а касательная меньше всей секущей — $5\lt 10\lt 20$ и $4\lt 10\lt 25$ .

Ответ

20; 25 / 20, 25