Из точки O проведены две секущие OB и OD. В подобных треугольниках OAD и OCB известно, что внешние части OA равно 4, OC равно 8, а вся секущая OD равно 10. Найдите всю секущую OB. Ответ дайте целым числом.

Окружность — Задание ЕГЭ по математике №00024725

Задание №23. Азы Математики

Окружность

№2. Задание без номера

ID: 00024725

Из точки $$O$$ проведены две секущие $$OB$$ и $$OD$$ . В подобных треугольниках $$OAD$$ и $$OCB$$ известно, что внешние части $$OA=4$$ , $$OC=8$$ , а вся секущая $$OD=10$$ . Найдите всю секущую $$OB$$ .

Ответ дайте целым числом.

Источник: Global_EE

Решение

Из внешней точки $$O$$ выходят две секущие. Первая проходит через ближнюю точку $$A$$ и дальнюю $$B$$ : $$OA$$ — внешняя часть, $$OB$$ — вся секущая. Вторая проходит через ближнюю точку $$C$$ и дальнюю $$D$$ : $$OC$$ — внешняя часть, $$OD$$ — вся секущая.

Из подобия треугольников $$OAD$$ и $$OCB$$ (общий угол при $$O$$ плюс равные вписанные углы) получается пропорция.

$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$

Перемножаем крест-накрест — это и есть правило: произведение всей секущей на её внешнюю часть одинаково для обеих секущих.

$OA\cdot OB=OC\cdot OD$

Считаем правую часть — это данные второй секущей: $8\cdot 10=80$ .

$4\cdot OB=80$

Делим обе части на $$4$$ .

$OB=\frac{80}{4}=20$

Проверка на здравый смысл: у первой секущей внешняя часть $$4$$ меньше всей секущей $$20$$ , у второй внешняя часть $$8$$ меньше всей секущей $$10$$ — часть короче целого в обоих случаях, чертёж существует.

Ответ

Другие задания по теме «Окружность» (8)