ID: 00024725
Из точки $O$ проведены две секущие $OB$ и $OD$. В подобных треугольниках $OAD$ и $OCB$ известно, что внешние части $OA=4$, $OC=8$, а вся секущая $OD=10$. Найдите всю секущую $OB$.
Ответ дайте целым числом.
Источник: Global_EE
Из внешней точки $O$ выходят две секущие. Первая проходит через ближнюю точку $A$ и дальнюю $B$: $OA$ — внешняя часть, $OB$ — вся секущая. Вторая проходит через ближнюю точку $C$ и дальнюю $D$: $OC$ — внешняя часть, $OD$ — вся секущая.
Из подобия треугольников $OAD$ и $OCB$ (общий угол при $O$ плюс равные вписанные углы) получается пропорция.
$$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$$
Перемножаем крест-накрест — это и есть правило: произведение всей секущей на её внешнюю часть одинаково для обеих секущих.
$$OA\cdot OB=OC\cdot OD$$
Считаем правую часть — это данные второй секущей: $8\cdot 10=80$.
$$4\cdot OB=80$$
Делим обе части на $4$.
$$OB=\frac{80}{4}=20$$
Проверка на здравый смысл: у первой секущей внешняя часть $4$ меньше всей секущей $20$, у второй внешняя часть $8$ меньше всей секущей $10$ — часть короче целого в обоих случаях, чертёж существует.