Из точки O проведены две секущие OB и OD . В подобных треугольниках OAD и OCB известно, что внешние части OA равно 4 , OC равно 8 , а вся секущая OD равно 10 . Найдите всю секущую OB .

Задание ЕГЭ по математике: Из точки O проведены две секущие OB и OD . В подобных…

№2. Задание без номера

ID: 00024725

Из точки $O$ проведены две секущие $OB$ и $OD$ . В подобных треугольниках $OAD$ и $OCB$ известно, что внешние части $OA=4$ , $OC=8$ , а вся секущая $OD=10$ . Найдите всю секущую $OB$ .

Источник: Global_EE

Решение

Из внешней точки $O$ выходят две секущие. Первая проходит через ближнюю точку $A$ и дальнюю $B$ : $OA$ — внешняя часть, $OB$ — вся секущая. Вторая проходит через ближнюю точку $C$ и дальнюю $D$ : $OC$ — внешняя часть, $OD$ — вся секущая.

Из подобия треугольников $OAD$ и $OCB$ (общий угол при $O$ плюс равные вписанные углы) получается пропорция.

$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$

Перемножаем крест-накрест — это и есть правило: произведение всей секущей на её внешнюю часть одинаково для обеих секущих.

$OA\cdot OB=OC\cdot OD$

Считаем правую часть — это данные второй секущей: $8\cdot 10=80$ .

$4\cdot OB=80$

Делим обе части на $4$ .

$OB=\frac{80}{4}=20$

Проверка на здравый смысл: у первой секущей внешняя часть $4$ меньше всей секущей $20$ , у второй внешняя часть $8$ меньше всей секущей $10$ — часть короче целого в обоих случаях, чертёж существует.

Ответ