Задание ЕГЭ по математике: Из точки O проведена касательная OK и секущая OB . В подобных…

№2. Задание без номера

ID: 00024724

Из точки $O$ проведена касательная $OK$ и секущая $OB$ . В подобных треугольниках $OAK$ и $OKB$ известно, что $OA=6$ , $OK=12$ . Найдите всю секущую $OB$ .

Источник: Global_EE

Решение

Из внешней точки $O$ выходят касательная $OK$ (трогает окружность в точке $K$ ) и секущая, которая протыкает окружность сначала в ближней точке $A$ , а потом в дальней точке $B$ . Значит $OA$ — внешняя часть секущей, а $OB$ — вся секущая.

Треугольники $OAK$ и $OKB$ подобны: угол при вершине $O$ у них общий, а угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду. Из подобия получаем пропорцию сторон.

$\frac{OA}{OK}=\frac{OK}{OB}$

Перемножим крест-накрест — получится знаменитое равенство «квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть».

$OK^2=OA\cdot OB$

Подставляем числа. Сначала возводим касательную в квадрат: $12^2=144$ .

$144=6\cdot OB$

Делим обе части на $6$ .

$OB=\frac{144}{6}=24$

Проверим, что картинка возможна: внешняя часть $6$ меньше касательной $12$ , а вся секущая $24$ больше своей внешней части — всё сходится.

Ответ