Окружность — Задание ЕГЭ по математике №00024724

Из внешней точки $O$ выходят касательная $OK$ (трогает окружность в точке $K$) и секущая, которая протыкает окружность сначала в ближней точке $A$, а потом в дальней точке $B$. Значит $OA$ — внешняя часть секущей, а $OB$ — вся секущая.

Треугольники $OAK$ и $OKB$ подобны: угол при вершине $O$ у них общий, а угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду. Из подобия получаем пропорцию сторон.

$$\frac{OA}{OK}=\frac{OK}{OB}$$

Перемножим крест-накрест — получится знаменитое равенство «квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть».

$$OK^2=OA\cdot OB$$

Подставляем числа. Сначала возводим касательную в квадрат: $12^2=144$.

$$144=6\cdot OB$$

Делим обе части на $6$.

$$OB=\frac{144}{6}=24$$

Проверим, что картинка возможна: внешняя часть $6$ меньше касательной $12$, а вся секущая $24$ больше своей внешней части — всё сходится.