ID: 00024717
В четырёхугольнике ABCD углы \angle CAD=38^\circ и \angle CBD=38^\circ (опираются на сторону CD). Докажите, что ABCD вписанный, и найдите \angle ABC, если \angle ADC=115^\circ.
Источник: Global_EE
Сначала доказательство. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой CD, и из каждой из них отрезок CD виден под одним и тем же углом 38^\circ.
Есть признак: если из двух точек, лежащих по одну сторону от отрезка, этот отрезок виден под равными углами, то все четыре точки лежат на одной окружности. Такие точки называют лежащими на одной дуге — ведь равные вписанные углы опираются на одну и ту же дугу CD.
Значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности, то есть четырёхугольник ABCD вписанный.
Теперь считаем угол. Раз четырёхугольник вписанный, работает свойство: суммы противоположных углов равны 180^\circ. Углы \angle ABC и \angle ADC как раз противоположные — они при вершинах B и D.
\angle ABC+\angle ADC=180^\circ
Подставляем данное значение и вычитаем.
\angle ABC=180^\circ-115^\circ=65^\circ