Окружность — Задание ЕГЭ по математике №00024717

Сначала доказательство. Точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $CD$, и из каждой из них отрезок $CD$ виден под одним и тем же углом $38^\circ$.

Есть признак: если из двух точек, лежащих по одну сторону от отрезка, этот отрезок виден под равными углами, то все четыре точки лежат на одной окружности. Такие точки называют лежащими на одной дуге — ведь равные вписанные углы опираются на одну и ту же дугу $CD$.

Значит, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности, то есть четырёхугольник $ABCD$ вписанный.

Теперь считаем угол. Раз четырёхугольник вписанный, работает свойство: суммы противоположных углов равны $180^\circ$. Углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ как раз противоположные — они при вершинах $B$ и $D$.

$$\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$$

Подставляем данное значение и вычитаем.

$$\angle ABC=180^\circ-115^\circ=65^\circ$$