Окружность — Задание ЕГЭ по математике №00024709

Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника. Из каждой вершины к ней выходят два отрезка касательных, и они равны между собой — это то же свойство касательных из одной точки.

Обозначим отрезки из вершин $A$, $B$, $C$ через $x$, $y$, $z$. Тогда каждая сторона складывается из двух таких кусочков: $b=x+z$, $c=x+y$, $a=y+z$.

Если сложить все три стороны, каждый кусочек посчитается дважды. Поэтому удобно взять полупериметр.

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{6+8+10}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Полупериметр — это как раз $x+y+z$. А сторона $a$ — это $y+z$. Значит, отрезок из вершины $A$ получается вычитанием.

$$x=p-a=12-6=6$$

Правило удобно запомнить: отрезок касательной из вершины равен полупериметру минус противолежащая сторона.