ID: 00024686
Решите уравнение: $\sqrt[3]{x^2-x-1}=x-1$.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Корень нечётной степени определён при любых числах и может быть любого знака, поэтому ограничений на $x-1$ нет — ОДЗ вся прямая, посторонние корни не появятся.
Возводим обе части в куб. Справа работает формула куба разности: $(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$.
$$x^2-x-1=x^3-3x^2+3x-1$$
Переносим всё вправо: из $x^3-3x^2+3x-1$ вычитаем $x^2-x-1$.
$$0=x^3-4x^2+4x$$
В каждом слагаемом есть $x$ — выносим его за скобку.
$$x(x^2-4x+4)=0$$
В скобке — полный квадрат: $x^2-4x+4=(x-2)^2$.
$$x(x-2)^2=0$$
Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель.
$$x=0,\qquad x=2$$
Проверим оба. При $x=0$: слева $\sqrt[3]{-1}=-1$, справа $0-1=-1$ — верно. При $x=2$: слева $\sqrt[3]{4-2-1}=\sqrt[3]{1}=1$, справа $2-1=1$ — верно.