Задание ЕГЭ по математике: Решите уравнение: корень 3-й степени из: начало аргумента: x в…
№2. Задание без номера
ID: 00024686
Решите уравнение: \sqrt[3]{x^2-x-1}=x-1.
Источник: Global_EE
Решение
Корень нечётной степени определён при любых числах и может быть любого знака, поэтому ограничений на x-1 нет — ОДЗ вся прямая, посторонние корни не появятся.
Возводим обе части в куб. Справа работает формула куба разности: (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1.
x^2-x-1=x^3-3x^2+3x-1
Переносим всё вправо: из x^3-3x^2+3x-1 вычитаем x^2-x-1.
0=x^3-4x^2+4x
В каждом слагаемом есть x — выносим его за скобку.
x(x^2-4x+4)=0
В скобке — полный квадрат: x^2-4x+4=(x-2)^2.
x(x-2)^2=0
Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель.
x=0,\qquad x=2
Проверим оба. При x=0: слева \sqrt[3]{-1}=-1, справа 0-1=-1 — верно. При x=2: слева \sqrt[3]{4-2-1}=\sqrt[3]{1}=1, справа 2-1=1 — верно.